Connected rates, geometry and time units
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| connected rates/kəˈnektɪd reɪts/ | laju berubah terkait |
Benda spherical memperoleh volume dengan laju stabil. Apakah jari-jarinya meningkat dengan laju yang stabil juga?
- Benda spherical memperoleh volume dengan laju stabil. Apakah jari-jarinya meningkat dengan laju yang stabil juga?
- Pelajaran ini mempelajari laju terhubung: Laju-laju yang terkait oleh hubungan antara besaran-besaran yang berubah dengan variabel waktu yang sama.
Pilih struktur matematika
- Jika y=f(x) dan x bervariasi dengan waktu t, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt). Turunkan hubungan antara besaran-besaran yang berubah terhadap waktu, lalu substitusikan nilai-nilai terukur pada saat itu. Pertahankan variabel waktu dan tanda serta unit setiap laju. Untuk bola V=(4/3)πr³ dan A=4πr², sehingga dV/dt=4πr² dr/dt dan dA/dt=8πr dr/dt.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Why must the radius NOT be substituted into V=(4/3)πr³ before differentiating with respect to time?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The relation must be differentiated WHILE r is still a function of t. Differentiate first, then substitute the instant’s values: at r=3 with dV/dt=18π, dr/dt=18π/(36π)=1/2 cm/s.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Sebuah bola memiliki jari-jari 3 cm dan bertambah volumenya pada laju 18π cm³/s. Laju perubahan jari-jari sesaatnya adalah 18π/(4π×9)=1/2 cm/s, dan laju perubahan luas permukaan adalah 8π×3×(1/2)=12π cm²/s. Ini adalah laju lokal; seiring r membesar, laju volume yang sama menghasilkan laju perubahan jari-jari yang lebih kecil. Pada bejana kerucut di mana jari-jari penuh setengah dari tinggi penuh, kesamaan memberikan r=h/2 pada setiap level air. Jadi V=πh³/12 dan dV/dt=(πh²/4)dh/dt. Pada h=4 cm dan aliran masuk 8π cm³/s, dh/dt=2 cm/s. Untuk tangga tetap 5 m, berlaku x²+y²=25; pada (x,y)=(3,4) m dengan dx/dt=0.2 m/s, dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15 m/s: bagian atas turun.
Connected rates, geometry and time units
If y=f(x) and x varies with time t, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
Find the worked sphere radius rate in cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Divide 18π by 4π×3² to obtain 1/2.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jangan substitusikan jari-jari atau tinggi saat ini sebelum melakukan diferensiasi: hal itu akan secara keliru mengubah hubungan tersebut menjadi konstanta. dV/dt bukan dV/dr. Jari-jari kerucut yang berubah harus mengikuti hubungan kesamaan, bukan tetap tetap pada nilainya saat ini. Konversikan aliran masuk per menit menjadi laju per detik sebelum menggabungkannya dengan data berbasis detik. Laju negatif berarti penurunan, bukan panjang negatif.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Substitusikan jari-jari terukur ke dalam rumus volume sebelum menurunkannya terhadap waktu. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi apa yang dilanggar.
Find the worked cone height rate in cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Similarity gives dV/dh=πh²/4; at h=4 divide 8π by 4π to obtain 2.
Substitute a measured radius into the volume formula before differentiating it with respect to time.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not substitute the current radius or height before differentiating: that would falsely turn the relation into a constant. dV/dt is not dV/dr. A changing cone radius must follow the similarity relation, not stay fixed at its current value. Convert a per-minute inflow to a per-second rate before combining it with second-based data. Negative rate means decrease, not a negative length.
Interpretasikan situasi baru
- Gambarlah geometrinya, identifikasi konstantanya, dan nyatakan satuan waktu/pengukuran yang valid. Hilangkan variabel berubah tambahan menggunakan kesamaan atau kendala, lalu lakukan diferensiasi. Gunakan nilai-nilai untuk saat yang sama dan deskripsikan arah hasilnya. Asumsi fisik, seperti panjang tangga yang tetap atau bola sejati, membatasi model; laju tidak perlu tetap konstan setelah saat itu.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Find the ladder top rate in m/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate the fixed ladder constraint: dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15.
Match each connected-rates step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Signs carry direction - a negative dy/dt means the ladder top descends - and every rate must share the same time unit before combining.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Laju-laju yang saling terkait melalui hubungan antara besaran-besaran yang berubah dengan variabel waktu yang sama. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.