Aturan rantai untuk fungsi bersarang dan input terbatas
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| composite derivative/ˈkɒmpəzɪt dɪˈrɪvətɪv/ | Turunan fungsi komposit |
Sensor mengonversi input yang berubah melalui beberapa rumus. Bagaimana cara kita menjaga setiap tautan dalam laju perubahannya?
- Sensor mengonversi input yang berubah melalui beberapa rumus. Bagaimana cara kita menjaga setiap tautan dalam laju perubahannya?
- Pelajaran ini mempelajari turunan komposit: Turunan luar yang dievaluasi pada output bagian dalam, dikalikan dengan turunan dari input bagian dalam tersebut.
Pilih struktur matematika
- Untuk y=f(u) dan u=g(x), dy/dx=f′(g(x))g′(x). Evaluasi turunan luar pada ekspresi bagian dalam yang sebenarnya. Untuk beberapa fungsi bersarang, kalikan setiap faktor laju bagian dalam. Restriksi domain berasal dari setiap tahap; ekspresi yang diturunkan tidak dapat mengembalikan input asli yang dilarang.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Untuk z=e^(x²), mengapa z′(0)=0 meskipun turunan eksponensial tidak pernah nol?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
z′=e^(x²)·2x. Faktor luar e^(x²) selalu positif, tetapi laju dalam 2x menghilang pada 0, sehingga hasilnya nol - titik datar pada kurva, bukan kegagalan aturan.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk y=(3x−1)^4, tetapkan u=3x−1: y′=4u³×3=12(3x−1)³, memberikan y′(0)=−12. Untuk z=e^(x²), z′=e^(x²)×2x; z′(0)=0 meskipun turunan eksponensial luar tidak pernah nol. Untuk w=ln(2x+1), x>−1/2, w′=2/(2x+1); w′(1)=2/3. Untuk r=sin((2x+1)²), pertama-tama tetapkan u=(2x+1)²: r′=cos((2x+1)²)×2(2x+1)×2=4(2x+1)cos((2x+1)²). Untuk s=√(5−x²), domain aslinya adalah −√5≤x≤√5, tetapi s′=−x/√(5−x²) hanya terbatas dalam interval terbuka.
Aturan rantai untuk fungsi bersarang dan input terbatas
Untuk y=f(u) dan u=g(x), dy/dx=f′(g(x))g′(x)
Pilih aturan turunan dan pertahankan setiap koefisien, laju dalam, dan pembatasan input.
Untuk (3x−1)^4, temukan turunannya pada x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4(−1)³×3=−12.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jangan berhenti setelah menurunkan pangkat luar atau eksponen. Untuk sin(u²), input kosinus tetap u²; tidak diganti dengan 2u. Hilangnya satu link dalam turunan bersarang akan kehilangan faktor. Turunan dalam yang nol dapat menghasilkan total turunan nol, sehingga membaginya tanpa pengecekan dapat menghilangkan kasus yang valid. Akar kuadrat dapat ada pada titik ujung tanpa turunan terhingga di sana.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Turunan dari e^(x²) adalah e^(x²) tanpa faktor laju dalam. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Untuk e^(x²), temukan turunannya pada x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Laju dalam adalah 2x, yang bernilai nol pada x=0.
Turunan dari e^(x²) adalah e^(x²) tanpa faktor laju dalam.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jangan berhenti setelah menurunkan pangkat luar atau fungsi eksponensial. Untuk sin(u²), input cosinus tetap u²; tidak diganti dengan 2u. Hilangnya satu mata rantai dalam turunan bersarang akan menghilangkan faktor. Turunan dalam nol dapat menghasilkan total turunan nol, sehingga membaginya tanpa pengecekan dapat menghilangkan kasus yang valid. Akar kuadrat dapat ada di titik ujung tanpa turunan hingga di sana.
Interpretasikan situasi baru
- Kerjakan dari luar ke dalam dan catat setiap perubahan input. Kalikan faktor-faktornya, lalu sederhanakan. Untuk polinomial pendek, ekspansi memberikan alternatif pemeriksaan independen. Pertahankan setiap batasan log/akar dan tafsirkan apakah laju nol berasal dari fungsi luar, input dalam, atau keduanya.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Untuk ln(2x+1), tentukan turunan pada x=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Laju dalam adalah 2; 2/(2×1+1)=2/3.
Pasangkan setiap fungsi majemuk dengan turunannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan fungsi luar DI ekspresi dalam, lalu kalikan dengan turunan dalam; rantai bersarang mengalikan setiap tautan.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · G. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Turunan luar yang dievaluasi pada output dalam, dikalikan dengan turunan dari input dalam tersebut. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan tafsirkan hasilnya.