Graf eksponensial dan invers logaritmik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | Logaritma |
Eksponensial memetakan eksponen menjadi jumlah positif. Grafik mana yang membalikkan pasangan input-output itu?
- Eksponensial memetakan eksponen menjadi jumlah positif. Grafik mana yang membalikkan pasangan input-output itu?
- Pelajaran ini mempelajari logaritma: Eksponen ke mana basis valid yang ditentukan harus dipangkatkan untuk menghasilkan input positif.
Pilih struktur matematika
- Untuk a>0, y=a^x memiliki setiap input real dan output positif. Ini melewati (0,1). Untuk a>1 ia meningkat; untuk 0<a<1 it decreases. For a=1 it is the constant 1, with no inverse function. For a>0 dan a≠1, y=log_a x adalah invers dari a^x: domain x>0, daerah hasil semua bilangan real. ln x adalah log_e x dan membalik e^x.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapakah 1^x tiada pemantakan logaritma?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pemantakan wujud hanya bagi fungsi satu-satu. Peta pemalar meruntuhkan setiap x kepada 1, jadi "log basis 1" tidak wujud; basis sah ialah a>0, a≠1.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Grafik 2^x memuat titik (−1,1/2),(0,1),(1,2),(2,4). Invers log₂x memuat titik (1/2,−1),(1,0),(2,1),(4,2), dicerminkan terhadap y=x. Grafik (1/2)^x menghasilkan 2,1,1/2 pada x=−1,0,1, sedangkan invers log_(1/2)x menurun. Untuk e^x dan ln x, titik (0,1) dan (1,0) adalah pasangan cermin; ln e=1 dan ln(e³)=3. Untuk setiap bilangan real u, ln(e^u)=u; untuk x>0, e^(ln x)=x. Logaritma mendekati tetapi tidak pernah menyentuh batas vertikalnya x=0; e^x mendekati y=0 saat x menuju negatif tak hingga.
Graf eksponensial dan invers logaritmik
Untuk a>0, y=a^x memiliki setiap input real dan output positif
Nyatakan input yang valid, variabel yang digambarkan, atau satuan waktu sebelum menggunakan hubungan logaritmik/eksponensial.
Temukan log₂(1/8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2^(−3)=1/8, sehingga logaritmanya adalah −3.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Baik ln0 maupun logaritma dari bilangan real negatif tidak terdefinisi dalam mata pelajaran bilangan real. Output logaritma negatif diperbolehkan: ln(1/e)=−1. Basis 1 diperbolehkan untuk konstanta eksponensial tetapi tidak untuk logaritma. Untuk basis di bawah 1, fungsi eksponensial mendekati nol saat x menuju tak hingga positif, dan inversnya memiliki arah naik/turun yang berlawanan dengan kasus a>1.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Eksponensial konstan 1^x memiliki invers logaritmik untuk semua input positif. Pernyataan ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan ln(e³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln adalah invers dari e dipangkatkan, sehingga ln(e³)=3.
Eksponensial konstan 1^x memiliki invers logaritmik untuk semua input positif.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Baik ln0 maupun logaritma bilangan real negatif tidak ada dalam kursus bilangan real. Output logaritma negatif diperbolehkan: ln(1/e)=−1. Basis 1 diizinkan untuk konstanta eksponensial tetapi tidak untuk logaritma. Untuk basis di bawah 1, eksponensial mendekati nol saat x menuju tak hingga positif, dan inversnya memiliki arah naik/turun yang berlawanan dengan kasus a>1.
Interpretasikan situasi baru
- Nyatakan basis, domain, dan range sebelum mengambil invers. Tukar koordinat titik eksponensial tepat untuk membangun grafik log. Pertahankan batas terbuka dan asimtot. Sumber F3 mencetak x≥0; kondisi input logaritma valid yang digunakan di sini adalah x>0, karena a^u selalu positif dan tidak pernah nol.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan e^(ln5).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Input positif 5 berada dalam domain ln, sehingga e^(ln5)=5.
Pasangkan setiap pasangan kepada hubungan pemantakan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Eksponensial melalui (0,1); pemantaknya melalui (1,0). Logaritma hanya menerima input positif, walaupun outputnya mungkin negatif.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · F. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Pangkat ke mana basis valid yang dinyatakan harus dipangkatkan untuk menghasilkan input positif. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.