Eksponensial, logaritma, dan pemodelan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| half-life/hɑːf laɪf/ | Waktu paruh |
Mengapa model peluruhan tetap positif?
- Konsentrasi obat turun dengan persentase yang sama setiap jam. Pengurangan konstan akan akhirnya memprediksi jumlah negatif.
- Pelajaran ini mempelajari waktu paruh: Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya.
Pilih struktur matematika
- Untuk y=Ae^(kt), k adalah laju proporsional. Mengambil logaritma menghasilkan ln y=ln A+kt. Logaritma memerlukan argumen positif, dan log(x+y) tidak sama dengan log x+log y.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa ln(x+y)=ln x+ln y salah?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Logaritma mengkonversi perkalian menjadi penjumlahan: ln(xy)=ln x+ln y. Coba x=y=1: ln 2≈0.69 tetapi ln 1+ln 1=0, sehingga hukum yang diklaim gagal.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Jika y=80e^(-0.2t), y=40 menghasilkan e^(-0.2t)=1/2. Maka t=ln2/0.2≈3.466. Untuk 3^x=20, x=ln20/ln3. Memplot ln y terhadap t melinearisasi model eksponensial ini.
Eksponensial, logaritma, dan pemodelan
Untuk y = Ae^(kt), k adalah laju proporsional
Jelaskan mengapa waktu paruh bergantung pada 0.2 dan bukan pada jumlah awal 80.
Selesaikan 2^x = 32.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
32 = 2⁵, sehingga x = 5.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Eksponensial yang disesuaikan adalah model, bukan jaminan. Tentukan satuan waktu dan rentang penggunaannya. Nilai k negatif menggambarkan peluruhan; nilai awal negatif biasanya bertentangan dengan konteks.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Untuk x dan y positif, ln(x+y)=ln x+ln y. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan ln(e³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Logaritma alami membalikkan eksponensiasi: ln(e³) = 3.
Untuk x dan y positif, ln(x+y) = ln x + ln y.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Eksponensial yang disesuaikan adalah model, bukan jaminan. Tentukan satuan waktu dan rentang penggunaan. k negatif menggambarkan peluruhan; jumlah awal negatif biasanya bertentangan dengan konteksnya.
Interpretasikan situasi baru
- Bandingkan observasi aktual dengan model. Penyimpangan sistematis mungkin mengindikasikan kondisi yang berubah. Dalam laporan, jelaskan apa arti laju dan nilai awal, alih-alih hanya memberikan persamaan mentah.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan waktu paruh dari 80e^(-0.2t), hingga tiga angka desimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Atur e^(-0.2t) = 1/2. Maka t = ln(2)/0.2 ≈ 3.466 hingga tiga angka desimal.
Pasangkan setiap kuantitas model eksponensial dengan maknanya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pengambilan logaritma menukar y=Ae^(kt) menjadi ln y=ln A+kt, sebuah garis lurus yang kecerunannya adalah kadar k.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · F. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Waktu yang dibutuhkan untuk kuantitas yang meluruh turun menjadi setengah dari nilai awalnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.