Sketsa polinomial, akar berulang dan tanda-tanda
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | Kekurangan Akar |
Dua akar dapat muncul dalam rumus terfaktorisasi tetapi membuat tanda yang sangat berbeda pada grafiknya. Manakah yang memotong sumbu?
- Dua akar dapat muncul dalam rumus terfaktorisasi tetapi membuat tanda yang sangat berbeda pada grafiknya. Manakah yang memotong sumbu?
- Pelajaran ini mempelajari multipisitas: Jumlah kali faktor linear dari suatu akar muncul dalam polinomial.
Pilih struktur matematika
- Temukan akar real dan multipisitasnya, intercept-y, dan suku utama. Akar dengan multipisitas ganjil mengubah tanda dan memotong sumbu-x; akar dengan multipisitas genap mempertahankan tanda dan menyentuh sumbu. Untuk koefisien utama positif, kurva derajat ganjil turun di kiri jauh dan naik di kanan jauh; kurva derajat genap naik di kedua ujung. Koefisien utama negatif membalikkan arah ini.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Untuk P(x)=(x+2)(x-1)², mengapa kurva menyentuh tetapi tidak memotong di x=1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dekat x=1, faktor (x-1)² bernilai nonnegatif di kedua sisinya, sehingga tanda P tetap sama—kurva menyentuh dan berbalik. Akar tunggal -2 dengan kelipatan ganjil memotong.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk P(x)=(x+2)(x−1)², akarnya adalah −2 dengan multipisitas 1 dan 1 dengan multipisitas 2. Intercept-y adalah P(0)=2. Suku utamanya adalah x³, sehingga ekor kiri turun dan ekor kanan naik. P memotong pada −2 dan menyentuh pada 1. Ia negatif untuk x<−2, positive for −2<x<1 and x>1, dan nol di kedua akar. Untuk Q(x)=−(x²−1)(x²−4), empat akar sederhana adalah −2,−1,1,2, intercept-y adalah −4 dan suku utamanya adalah −x⁴. Kedua ekor turun. Q positif pada (−2,−1) dan (1,2), dan negatif pada tiga interval lainnya yang dipisahkan oleh akar.
Sketsa polinomial, akar berulang dan tanda-tanda
Temukan akar-akar real dan kelipatannya, intersep-y, dan suku teratas
Hubungkan ekspresi terfaktorisasi dengan grafnya atau koefisien perluasannya.
Temukan intersep-y dari P(x)=(x+2)(x−1)².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(0)=(0+2)(0−1)²=2.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jumlah akar yang berbeda tidak harus sama dengan derajat. Akar berulang adalah satu titik potong-x meskipun faktornya muncul lebih dari sekali. Jangan mengontraksikan tanda pada akar dengan multipisitas genap. Sketsa menunjukkan struktur; koordinat titik belok yang tepat memerlukan analisis lebih lanjut, bukan bacaan tebakan dari gambar.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap akar real dari polinomial harus mengubah tanda nilainya. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan akarnya dengan kelipatan genap.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Faktor kuadrat (x−1)² memberikan akar kelipatan genap x=1.
Setiap akar real dari polinomial harus mengubah tanda nilainya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jumlah akar yang berbeda tidak perlu sama dengan derajat. Akar berulang adalah satu titik potong-x meskipun faktornya muncul lebih dari sekali. Jangan membalikkan tanda pada akar kelipatan genap. Sketsa menunjukkan struktur; koordinat titik belok yang eksak memerlukan analisis lebih lanjut, bukan tebakan pembacaan dari gambar.
Interpretasikan situasi baru
- Solusi grafis dari P(x)=k adalah irisan kurva dengan y=k. Untuk k=0, akar-akar terfaktorkan eksak; untuk nilai k lain, grafik hanya dapat memperkirakan solusi. Gunakan interval tanda untuk menyelesaikan P(x)≤0: x≤−2 atau x=1. Akar terisolasi ini penting meskipun nilai tetangganya positif.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Nilai Q(0) untuk Q(x)=−(x²−1)(x²−4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Q(0)=−(−1)(−4)=−4.
Pasangkan setiap fitur sketsa dengan sumbernya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kelipatan mengontrol apakah memotong atau menyentuh, dan suku utama menentukan kedua ujung; titik belok yang pasti memerlukan kalkulus, bukan tebakan dari sketsa.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · B. Cocokkan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Jumlah kali faktor linear suatu akar muncul dalam polinomial. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.