Small-angle approximations and their limits
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | pendekatan |
Putaran kecil menggerakkan penunjuk hampir menyamping. Kapan mengganti fungsi trigonometri dengan sudutnya sendiri cukup akurat?
- Rotasi kecil menggerakkan penunjuk hampir secara horizontal. Kapan mengganti fungsi trigonometri dengan sudutnya sendiri cukup akurat?
- Pelajaran ini mempelajari pendekatan: Nilai sederhana yang lebih dekat yang digunakan dengan batas akurasi yang ditentukan.
Pilih struktur matematika
- Ketika θ mendekati nol dan diukur dalam radian, sinθ≈θ, tanθ≈θ dan cosθ≈1−θ²/2. Ini adalah pendekatan, bukan identitas. Suku sinus/tangen yang dibuang dimulai pada urutan θ³; suku kosinus yang dibuang dimulai pada urutan θ⁴. Sudut absolut yang lebih kecil biasanya meningkatkan pendekatan lokal ini.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Why does sin θ≈θ fail for an angle entered in degrees?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The small-angle limits come from radian geometry, where arc equals radius times angle. In degrees every value shrinks by π/180, so writing sin 1°≈1 is wrong by a factor of about 57.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Pada θ=0.1 radian, sinθ≈0.1 (sebenarnya 0.0998334), tanθ≈0.1 (sebenarnya 0.100335) dan cosθ≈0.995 (sebenarnya 0.995004). Kesalahan absolut sekitar 0.000167, 0.000335 dan 0.00000417. Untuk 6(1−cos x)=0.03, aproksimasi 1−cos x dengan x²/2: 3x²≈0.03, jadi x≈±0.1 radian. Periksa asumsi sudut kecil setelah menyelesaikan; substitusi pada x=0.1 menghasilkan 0.0299750 alih-alih tepat 0.03. Juga sin(2x)/x≈2 untuk x kecil nonzero, sementara 1−cos(2x)≈2x².
Small-angle approximations and their limits
When θ is close to zero and measured in radians, sinθ≈θ, tanθ≈θ and cosθ≈1−θ²/2
Explain each condition before using the corresponding trigonometric formula.
Using the small-angle formula, approximate sin(0.2 radians).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ, with θ=0.2 radians.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Derajat tidak bekerja dalam rumus-rumus ini: sin(1°)≈π/180, bukan 1. Tulis ≈ daripada =. Pengurangan dapat membuat kesalahan relatif lebih penting; pertahankan suku θ² dalam 1−cosθ. Rasio pada θ=0 mungkin tidak terdefinisi meskipun limit terdekatnya ada.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Rumus sinθ≈θ sama-sama valid untuk sudut yang dimasukkan dalam derajat. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Approximate cos(0.2 radians).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1−0.2²/2=0.98.
The formula sinθ≈θ is equally valid for an angle entered in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Degrees do not work in these formulas: sin(1°)≈π/180, not 1. Write ≈ rather than =. Subtraction can make relative error more important; preserve the θ² term in 1−cosθ. A ratio at θ=0 may be undefined even when its nearby limit exists.
Interpretasikan situasi baru
- Ubah ke radian terlebih dahulu dan identifikasi argumen setiap fungsi trigonometri: sin(3x)≈3x, bukan x. Untuk sebuah model, bandingkan kesalahan pendekatan dengan presisi yang diperlukan. Jika solusi tidak kecil, gunakan persamaan trigonometri asli; rumus-rumus ini tidak memiliki ambang batas akurasi universal.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Give the positive approximate solution of 6(1−cos x)=0.03 in radians.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x²≈0.03 gives x²≈0.01, so the positive root is 0.1.
Match each small-angle approximation to its first discarded term.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
These are approximations with accuracy limits - write ≈, keep θ in radians, and preserve the θ² term where subtraction would cancel the 1.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · E. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Nilai sederhana yang lebih dekat yang digunakan dengan batas akurasi yang ditentukan. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.