Reciprocal identities and one-sided proof chains
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | identitas |
Dua rumus sepakat pada satu sudut. Apakah itu membuktikan mereka sepakat untuk setiap sudut di mana mereka terdefinisi?
- Dua rumus sepakat pada satu sudut. Apakah itu membuktikan mereka sepakat untuk setiap sudut di mana mereka terdefinisi?
- Pelajaran ini mempelajari identitas: Kesamaan yang benar untuk setiap input dalam domain umum yang dinyatakan.
Pilih struktur matematika
- Persamaan lingkaran satuan memberikan sin²θ+cos²θ=1. Bagi dengan cos²θ ketika cosθ≠0 untuk memperoleh tan²θ+1=sec²θ. Bagi dengan sin²θ ketika sinθ≠0 untuk memperoleh 1+cot²θ=cosec²θ. Catat pengecualian sebelum membatalkan atau membagi. Bukti dimulai dari satu sisi dan mencapai sisi lain melalui kesamaan yang sah; pengecekan numerik saja bukan merupakan bukti.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Why is checking tan²θ-sin²θ=tan²θsin²θ at θ=π/4 not a proof?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An identity claims equality at EVERY allowed input. The proof chains valid equalities from one side to the other: sin²θ(1/cos²θ-1)=sin⁴θ/cos²θ=tan²θsin²θ, with exclusions recorded.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Buktikan tan²θ−sin²θ=tan²θ sin²θ untuk cosθ≠0. Sisi kiri adalah sin²θ(1/cos²θ−1)=sin²θ(1−cos²θ)/cos²θ=sin⁴θ/cos²θ=tan²θ sin²θ. Tidak perlu pembagian dengan sinθ, sehingga sinθ=0 tetap diperbolehkan. Untuk sinθ≠0, (1−cosθ)/sinθ menjadi (1−cosθ)(1+cosθ)/[sinθ(1+cosθ)]=sin²θ/[sinθ(1+cosθ)]=sinθ/(1+cosθ). Pengecualian yang dinyatakan juga membuat 1+cosθ tidak nol. Jika secθ=2 dengan θ lancip, tan²θ=4−1=3, cosθ=1/2, sin²θ=3/4, cosec²θ=4/3 dan cot²θ=1/3.
Reciprocal identities and one-sided proof chains
The unit-circle equation gives sin²θ+cos²θ=1
Explain which denominator or branch restriction makes each step valid.
If secθ=2 and θ is acute, find tan²θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan²θ=sec²θ−1=4−1=3.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Membuktikan identitas tidak berarti mengasumsikan kedua sisi sama dan memanipulasi asumsi tersebut tanpa justifikasi. Identitas kuadrat tidak memperbaiki tanda fungsi: kuadranlah yang menentukannya. Ekspresi terakhir sinθ/(1+cosθ) terdefinisi pada θ=0, tetapi yang asli (1−cosθ)/sinθ tidak; penyederhanaan tidak memperbaiki domain asli.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Memeriksa identitas yang diusulkan pada satu sudut membuktikannya untuk semua sudut yang diizinkan. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Find cosec²θ for that angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin²θ=1−cos²θ=3/4; its reciprocal is 4/3.
Checking a proposed identity at one angle proves it for all allowed angles.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Proving an identity does not mean assuming both sides equal and manipulating that assumption without justification. A squared identity does not fix a function’s sign: the quadrant does. The last expression sinθ/(1+cosθ) is defined at θ=0, but the original (1−cosθ)/sinθ is not; simplification does not repair the original domain.
Interpretasikan situasi baru
- Pilih sisi yang lebih rumit, ganti fungsi resiprokal dengan sinus/kosinus, gunakan penyebut persekutuan dan terapkan sin²+cos²=1. Berikan anotasi pada setiap faktor yang dicoret. Untuk membantah identitas yang diklaim, satu contoh penyangga yang valid sudah cukup; untuk membuktikannya, jelaskan mengapa rantai kesetaraan berlaku untuk semua sudut dalam domain bersama.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Find cot²θ for that angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cot²θ=cosec²θ−1=4/3−1=1/3.
Match each derived identity to its source.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Simplification never repairs the original domain: a step valid only where sinθ≠0 leaves θ=0 excluded from the original statement.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · E. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Kesamaan yang benar untuk setiap input dalam domain umum yang dinyatakan. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.