Compound-angle formulae and geometric proofs
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | sudut majemuk |
Dua titik jari-jari satuan menentukan tali busur. Dapatkah panjangnya menjelaskan mengapa kosinus selisih bukan selisih dari dua kosinus?
- Dua titik jari-jari satuan menentukan tali busur. Dapatkah panjangnya menjelaskan mengapa kosinus selisih bukan selisih dari dua kosinus?
- Pelajaran ini mempelajari sudut majemuk: Sudut yang dinyatakan sebagai jumlah atau selisih dari dua sudut.
Pilih struktur matematika
- sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB. cos(A±B)=cosA cosB∓sinA sinB: tanda kosinus berubah. tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanA tanB) di mana tangen dan penyebut terdefinisi. Turunkan tangen dengan membagi rumus sinus dan kosinus yang sesuai; jangan memperluas hasil bagi melalui penyebut nol.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Why is cos(A+B)=cosA cosB - sinA sinB while sin(A+B) carries a plus?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Check with A=B=45°: cos 90°=0 and cosAcosB-sinAsinB=1/2-1/2=0, while a plus would give 1. The cosine sign reversal is exactly what the compound geometry produces.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Misalkan P=(cosA,sinA) dan Q=(cosB,sinB) pada lingkaran satuan. Jarak koordinat memberikan PQ²=2−2(cosA cosB+sinA sinB). Aturan kosinus pada dua jari-jari satuan memberikan PQ²=2−2cos(A−B), sehingga rumus selisih kosinus. Ganti B dengan −B, menggunakan kosinus genap/sinus ganjil, untuk mendapatkan penjumlahan kosinus. Terapkan selisih kosinus pada (π/2−A) dan B untuk mendapatkan sin(A+B); kemudian ubah tanda B untuk pengurangan sinus. Evaluasi eksak: sin75°=sin(45°+30°)=(√6+√2)/4; cos75°=(√6−√2)/4; sin15°=(√6−√2)/4, cos15°=(√6+√2)/4 dan tan15°=2−√3.
Compound-angle formulae and geometric proofs
sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB
Explain how the angle formula follows from the geometric or coefficient conditions.
Find sin(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use sin(π/4−π/6)=(√6−√2)/4≈0.258819.
Uji jalan pintas yang menggoda
- sin(A+B) bukan sama dengan sinA+sinB. Aturan cosinus pada tali busur menggunakan sudut apit yang lebih kecil jika diperlukan, tetapi cosinusnya tetap cos(A−B). Jarak koordinat dan identitas yang dihasilkan berlaku untuk semua sudut bertanda; diagram awal adalah satu kasus ilustratif. tan(45°+45°) tidak terdefinisi karena 1−tan45°tan45°=0.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Cosinus dari penjumlahan selalu sama dengan jumlah kedua nilai cosinus. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Find cos(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use cos(π/4−π/6)=(√6+√2)/4≈0.965926.
Cosine of a sum always equals the sum of the two cosine values.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(A+B) is not sinA+sinB. The cosine rule chord uses the smaller included angle when necessary, but its cosine is still cos(A−B). Coordinate distance and the resulting identities hold for all signed angles; the initial diagram is one illustrative case. tan(45°+45°) is undefined because 1−tan45°tan45°=0.
Interpretasikan situasi baru
- Pilih sudut-sudut yang familiar yang jumlah atau selisihnya merupakan target. Pertahankan akar eksak dan rasionalkan hasil bagi tangen jika perlu. Dalam pembuktian geometris, nyatakan kedua ekspresi untuk tali busur yang sama alih-alih mengasumsikan identitas yang diinginkan. Periksa penyebut sebelum menerapkan rumus penjumlahan/pengurangan tangen.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Find tan(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use tan(π/4−π/6)=2−√3≈0.267949.
Match each exact value to its compound-angle computation.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The special-triangle values feed the compound formulas to produce exact values at 15° and 75° without a calculator.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · E. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Sudut yang dinyatakan sebagai jumlah atau selisih dua sudut. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.