Quadratic trigonometric equations and complete root sets
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| candidate/ˈkændɪdeɪt/ | Kandidat solusi |
Sebuah persamaan memberikan dua nilai sinus yang mungkin. Berapa banyak sudut yang mereka ciptakan dalam satu putaran penuh?
- Sebuah persamaan memberikan dua nilai sinus yang mungkin. Berapa banyak sudut yang mereka ciptakan dalam satu putaran penuh?
- Pelajaran ini mempelajari kandidat: Solusi yang mungkin yang masih perlu dicek dalam persamaan dan interval asli.
Pilih struktur matematika
- Ganti satu fungsi trigonometri dengan u, selesaikan persamaan aljabar, lalu selesaikan setiap nilai trigonometri yang valid pada interval yang stated. Untuk sinus/kosinus, tolak u di luar [−1,1]. Tangen menerima semua bilangan real u yang terbatas tetapi mengecualikan sudut di mana cosinus bernilai nol. Faktorkan sebelum membagi dengan fungsi trigonometri, agar kasus nol tetap dipertahankan.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
For 2cos²x-5cosx+2=0, the roots are cosx=1/2 and cosx=2. Why is only 1/2 usable?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The substitution u=cos x carries the range restriction [-1,1]. The algebraic root u=2 has no angle, leaving x=π/3 and 5π/3 from u=1/2 on [0,2π).
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Pada 0≤x<2π, selesaikan 2sin²x−sinx−1=0. Misalkan u=sinx: (2u+1)(u−1)=0, sehingga u=−1/2 atau 1. Solusinya adalah 7π/6, 11π/6 dan π/2; urutkan sebagai π/2, 7π/6, 11π/6. Untuk 2cos²x−5cosx+2=0, nilai aljabarnya adalah 1/2 dan 2; tolak 2, menyisakan x=π/3,5π/3. Untuk tan²x−3tanx+2=0, tanx=1 atau 2. Maka x=π/4,5π/4, arctan2, π+arctan2, dengan keempatnya dicek dalam persamaan asli. Untuk sinx cosx=sinx, faktorkan sinx(cosx−1)=0: x=0 atau π. Membatalkan sinx akan kehilangan π.
Quadratic trigonometric equations and complete root sets
Replace one trig function by u, solve the algebraic equation, then solve each valid trig value on the stated interval
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does 2sin²x−sinx−1=0 have on [0,2π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinx=1 gives π/2; sinx=−1/2 gives 7π/6 and 11π/6: three angles.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Hitunglah jumlah sudut daripada hanya akar aljabar: nilai sinus 1 memiliki satu sudut per putaran, sementara sebagian besar nilai interior memiliki dua. Tolak output sinus/kosinus yang mustahil sebelum mengambil fungsi invers. Jangan memasukkan 2π ke dalam interval setengah terbuka, dan jangan mencantumkan titik akhir yang berulang dua kali.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap akar real dari kuadrat dalam cosx adalah nilai cosinus yang diperbolehkan. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi apa yang dilanggar.
How many solutions remain for 2cos²x−5cosx+2=0 on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Reject cosx=2; cosx=1/2 gives π/3 and 5π/3.
Every real root of a quadratic in cosx is an allowed cosine value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Count angles rather than only algebraic roots: a sine value 1 has one angle per turn, while most interior values have two. Reject impossible sine/cosine outputs before taking inverse functions. Do not include 2π in a half-open interval, and do not list a repeated endpoint twice.
Interpretasikan situasi baru
- Gunakan identitas terlebih dahulu jika muncul kedua sinus dan kosinus: 2sin²x+cosx−2=0 menjadi cosx(1−2cosx)=0, menghasilkan x=π/2,3π/2,π/3,5π/3 pada [0,2π). Hasil perkalian yang difaktorkan bernilai nol ketika salah satu faktornya bernilai nol. Verifikasi setiap kandidat terhadap domain dan interval asli, terutama setelah pembagian atau pemangkatan.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
How many solutions does sinx cosx=sinx have on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Factor sinx(cosx−1)=0; x=0 and π, with 0 appearing only once.
Match each trig-equation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Count ANGLES, not algebraic roots: sin x=1 gives one angle per turn while an interior value like -1/2 gives two.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · E. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Solusi yang mungkin yang masih perlu dicek dalam persamaan dan interval asli. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.