Persamaan sudut ganda dan interval tertransformasi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| transformed interval/trænsˈfɔːmd ˈɪntəvl/ | Interval tertransformasi |
Menggandakan sudut menggandakan jumlah siklus yang dicari. Bagaimana kita menghindari kehilangan separuh solusi?
- Menggandakan sudut menggandakan jumlah siklus yang dicari. Bagaimana kita menghindari kehilangan separuh solusi?
- Pelajaran ini mempelajari interval tertransformasi: Interval untuk sudut pengganti setelah menerapkan perubahan input yang sama pada kedua ujungnya.
Pilih struktur matematika
- Untuk argumen u=kx+c, transformasikan seluruh interval x menjadi interval yang sesuai untuk u. Jika k negatif, balikkan urutan ujung dan pertahankan apakah setiap ujung termasuk atau tidak. Selesaikan dalam u dengan semua siklus berulang, lalu kembalikan x=(u−c)/k dan periksa interval asli. Sine/cosine berulang setelah 2π; tangent berulang setelah π.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa menyelesaikan sin 2x=1/2 pada [0,2π) memerlukan interval [0,4π) untuk u=2x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mengubah seluruh interval menghasilkan 0≤u<4π, di mana sinus mencapai 1/2 empat kali: π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6. Menghalangi kembali empat nilai x; satu siklus u hanya menemukan dua.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Selesaikan sin2x=1/2 pada 0≤x<2π. Maka 0≤u=2x<4π, menghasilkan u=π/6,5π/6,13π/6,17π/6. Bagi dengan 2: x=π/12,5π/12,13π/12,17π/12. Untuk cos(2x−π/3)=1/2 pada [0,2π), interval baru adalah [−π/3,11π/3). Nilai u yang diperbolehkan adalah −π/3,π/3,5π/3,7π/3, sehingga x=0,π/3,π,4π/3. Untuk tan3x=1 pada [0,π), u berkisar pada [0,3π), sehingga x=π/12,5π/12,3π/4. Untuk sin(−2x)=0 pada [0,π), interval tertransformasi adalah (−2π,0]; akarnya u=−π,0 menghasilkan x=π/2,0.
Persamaan sudut ganda dan interval tertransformasi
Untuk argumen u=kx+c, transformasikan seluruh interval untuk x menjadi interval yang sesuai untuk u
Jelaskan interval asli, penyebut, atau referensi fisik sebelum menggunakan persamaan trigonometri.
Berapa banyak solusi sin2x=1/2 pada [0,2π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2x mencakup dua putaran penuh, menghasilkan empat akar sinus.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Menyelesaikan hanya satu siklus u akan melewatkan akar-akar. Ujung atas yang dikecualikan untuk x belum tentu merupakan ujung atas untuk u ketika k<0. Membagi dengan faktor trigonometri dapat menghilangkan akar nol; kuadratik dapat memperkenalkan akar tambahan. Substitusikan ke persamaan asli, penyebut resiprokal/tangennya mungkin masih mengecualikan kandidat tersebut.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Menyelesaikan sin2x pada satu putaran penuh 2x selalu menemukan setiap solusi x pada [0,2π). Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Berapa banyak solusi yang dimiliki tan3x=1 pada [0,π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x mencakup tiga periode tangen, menghasilkan tiga akar.
Menyelesaikan sin2x pada satu putaran penuh 2x selalu menemukan setiap solusi x pada [0,2π).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Menyelesaikan hanya satu siklus u melewatkan akar. Batas atas yang dikecualikan untuk x tidak harus menjadi batas atas untuk u ketika k<0. Membagi dengan faktor trigonometri dapat menghilangkan akar nol; kuadratkan dapat memperkenalkan akar ekstra. Substitusikan ke dalam persamaan asli, penyebut resiprokal/tangennya mungkin masih mengecualikan kandidat.
Interpretasikan situasi baru
- Gunakan keluarga umum seperti u=α+2jπ atau π−α+2jπ untuk sine, u=±arccos a+2jπ untuk cosine, dan u=arctan a+jπ untuk tangent, dengan bilangan bulat j. Pertahankan hanya nilai dalam interval tertransformasi. Pada ekstrem sine/cosine, hilangkan duplikasi keluarga. Kembalikan jawaban dalam satuan sudut yang diminta dan variabel asli.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Berapa banyak solusi yang dimiliki sin(−2x)=0 pada [0,π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Interval yang ditransformasi adalah (−2π,0], memberikan u=−π,0 dan karenanya dua nilai x.
Cocokkan setiap langkah sudut ganda dengan aturannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tangen berulang setelah π, sinus dan cosinus setelah 2π; jumlah siklus berskala dengan |k|.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · E. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Interval untuk sudut pengganti setelah menerapkan perubahan input yang sama pada kedua ujungnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.