D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357, bagian D (Urutan dan deret), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: Urutan aritmatika GCSE dan persamaan simultan.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Seorang penabung menyetorkan jumlah yang sama setiap tahun sementara investasi tumbuh dengan persentase yang sama setiap tahun. Setelah delapan tahun, saldo mana yang bisa Anda totalkan tepat dalam satu baris?
• Sebelum membaca lebih lanjut, sebutkan mana dari dua yang tumbuh oleh penjumlahan dan mana oleh perkalian, serta apa yang dibutuhkan masing-masing rumus jumlah.

Metode

• Urutan aritmatika menambahkan beda konstan: uₙ = a + (n − 1)d. Deretnya menjumlahkan dengan memasangkan ujung-ujung: Sₙ = n(a + uₙ)/2. Urutan geometri mengalikan dengan rasio konstan: uₙ = arⁿ⁻¹, dengan Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) untuk r ≠ 1.
• Jumlah geometri tak hingga hanya ada ketika |r| < 1, karena suku-sukunya mengecil menuju nol: S∞ = a/(1 − r). Hubungan rekurensi mendefinisikan setiap suku dari suku sebelumnya dan membutuhkan nilai awal; urutan periodik berulang setelah sejumlah langkah tetap.
• Urutan aritmatika: Urutan dengan beda konstan antara suku-suku; Urutan geometri: Urutan dengan rasio konstan antara suku-suku; Hubungan rekurensi: Aturan yang memberikan setiap suku dari nilai sebelumnya; Urutan periodik: Urutan yang suku-sukunya berulang setelah sejumlah langkah tetap.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Temukan a dan d dari dua suku yang diberikan menggunakan persamaan simultan sebelum menggunakan rumus: u₃ = 10 dan u₇ = 22 menghasilkan 4d = 12, sehingga d = 3 dan a = 4. Jumlah suku harus berupa bilangan bulat positif; pecahan atau akar negatif ditolak, tidak boleh dibulatkan.
• Periksa klaim jumlah terhadap beberapa suku pertama secara langsung, dan verifikasi target minimal terhadap bilangan bulat di KEDUA sisi titik potong.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: a = 5, d = 3, n = 8. Suku kedelapan adalah u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. Jumlahnya adalah S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. Setiap pasangan empat ujung berjumlah 31, dan 4 × 31 = 124 ✓.

Contoh:

Untuk a = 12, r = 0.5, temukan jumlah tak hingga dan suku ke-n pertama agar jumlah parsial melebihi 23.9, menggunakan urutan yang sama: diketahui → rumus → substitusi → cek bilangan bulat. (Jawaban: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. Jumlah parsial adalah Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 dan S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, jadi n = 8.)

Batasan dan jebakan

• Rumus jumlah tak hingga tidak berlaku pada r = 1 atau r = −1, di mana suku-sukunya tidak mengecil; rasio negatif konvergen jika MAGNITUDonya di bawah 1. Rekurensi memerlukan urutan operasi dipertahankan persis: B berikutnya = 1.1B + 50 berbeda dari 1.1(B + 50).

Peringatan:

Setiap deret geometri memiliki jumlah hingga tak hingga. Klaim ini salah: jumlah hanya ada ketika |r| < 1. Pada r = 2 suku-sukunya membesar tanpa batas, dan pada r = −1 jumlah parsial berayun selamanya — keduanya tidak konvergen.

Kunci:

Barisan dan deret: aritmatika menjumlahkan (pasangkan ujung untuk menjumlah), geometri mengalikan (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r), dan S∞ = a/(1−r) hanya untuk |r| < 1). Temukan parameter dari suku yang disebutkan, dan minta jawaban bilangan bulat untuk jumlah suku.