Increasing, decreasing and periodic recurrences
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| periodic sequence/ˌpɪərɪˈɒdɪk ˈsiːkwəns/ | barisan berkala |
Aturan pembaruan yang sama dapat meningkatkan satu nilai awal dan menurunkan nilai lain. Apa yang menentukan perilakunya?
- Aturan pembaruan yang sama dapat meningkatkan satu nilai awal dan menurunkan nilai lain. Apa yang menentukan perilakunya?
- Pelajaran ini mempelajari barisan periodik: Barisan yang suku-sukunya berulang setelah jumlah langkah tetap positif.
Pilih struktur matematika
- Rekurensi memerlukan suku awal serta sebuah aturan. Hitung setiap suku baru dari suku sebelumnya, pertahankan nilai eksak jika berguna. Bandingkan u_(n+1)−u_n dan periksa batas sebelum mengklaim perilaku meningkat atau menurun. Barisan periodik berulang setelah jumlah langkah tetap; langkah positif terkecil yang berulang adalah periodenya.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
For u next=u/2+3 starting at 1, why does the sequence increase toward 6 without passing it?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
While u_n<6, the update adds half the remaining gap, so terms rise and stay below 6. Starting above 6 the same rule decreases toward it: the fixed point attracts from both sides.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk u₁=1 dan u_(n+1)=u_n/2+3, suku-suku pertama adalah 1,7/2,19/4,43/8. Nilai tetap menyelesaikan L=L/2+3, menghasilkan L=6. Jika u_n<6, the next term remains below 6 and u_(n+1)−u_n=(6−u_n)/2>0. Dengan demikian barisan ini meningkat menuju 6. Memulai dari 11 menghasilkan 11,17/2,29/4,…, menurun namun tetap di atas 6. Bentuk eksaknya adalah u_n=6+(u₁−6)/2^(n−1). Secara terpisah, v₁=2 dan v_(n+1)=6−v_n menghasilkan 2,4,2,4,… dengan periode 2 karena menerapkan aturan dua kali mengembalikan suku asli. Memulai aturan kedua dari 3 menghasilkan barisan konstan dengan periode terkecil 1.
Increasing, decreasing and periodic recurrences
A recurrence needs an initial term as well as a rule
Check whether a sequence or sum argument preserves all its defining information.
For u₁=1 and u_(n+1)=u_n/2+3, find u₂.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₂=1/2+3=7/2=3.5.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Suku numerik awal menunjukkan perilaku tetapi tidak membuktikannya untuk setiap n. Persamaan titik tetap saja tidak membuktikan konvergensi: pembaruan harus terus mendekatinya. Nilai bergantian tidak harus periodik; (−2)^n berganti tanda sementara magnitudonya bertambah besar. Nyatakan apakah “meningkat” berarti meningkat ketat atau sekadar tak-berkurang.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap rekurensi dengan nilai tetap harus konvergen ke sana dari setiap nilai awal. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi apa yang dilanggar.
Find u₃ for that sequence.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₃=(7/2)/2+3=19/4=4.75.
Every recurrence with a fixed value must converge to it from every starting value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Early numerical terms suggest behaviour but do not prove it for every n. A fixed-point equation alone does not prove convergence: the update must keep approaching it. Alternating values need not be periodic; (−2)^n alternates in sign while its magnitude grows. State whether “increasing” means strictly increasing or merely nondecreasing.
Interpretasikan situasi baru
- Verifikasi bentuk eksplisit dengan mensubstitusikannya ke dalam rekurensi dan memeriksa suku awal. Jarak dari 6 berkurang separuh pada setiap pembaruan, menjelaskan konvergensi dalam contoh ini. Suku awal yang berbeda mengubah arah atau memberikan barisan konstan, meskipun rumus rekurensi tetap sama.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Find the smallest period of 2,4,2,4,… .
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Two updates return to 2, while one gives 4; the smallest period is 2.
Match each recurrence behaviour to its test.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Behaviour claims need the difference or bound argument; a period is the SMALLEST positive repeat step.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · D. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan tugas tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Barisan yang suku-sukunya berulang setelah jumlah langkah tetap positif. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.