Sigma notation, indices and changed limits
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| summation index/sʌˈmeɪʃn ˈɪndeks/ | indeks penjumlahan |
Sebuah deret dimulai dari suku ketiga. Berapa banyak suku yang dimilikinya, dan apa yang berubah jika kita mengganti nama atau menggeser indeksnya?
- Sebuah deret dimulai dari suku ketiga. Berapa banyak suku yang dimilikinya, dan apa yang berubah jika kita mengganti nama atau menggeser indeksnya?
- Pelajaran ini mempelajari indeks penjumlahan: Variabel yang mengambil setiap nilai bilangan bulat antara batas-batas yang dinyatakan dari sebuah deret.
Pilih struktur matematika
- Dalam deret dari k=a hingga b, substitusikan setiap bilangan bulat a,a+1,…,b ke dalam suku penjumlahan dan tambahkan hasilnya. Ada b−a+1 suku ketika a≤b. Indeks penjumlahan adalah variabel dummy, tetapi parameter lain mempertahankan nilainya. Mengganti nama indeks hanya akan mempertahankan deret jika kemunculannya pada batas diganti secara konsisten.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
How many terms are in the sum from k=3 to k=7 inclusive?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An inclusive index range contains b-a+1 values. Subtracting the endpoints without adding 1 loses the first term - the sum 5+7+9+11+13 has five visible terms.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Jumlah dari k=3 hingga 7 bagi (2k−1) ialah 5+7+9+11+13=45, dengan lima sebutan. Ia juga bersamaan dengan jumlah dari k=1 hingga 7 tolak jumlah dari k=1 hingga 2: 49−4=45. Dengan j=k−2, had bawah menjadi 1, had atas menjadi 5 dan 2k−1 menjadi 2j+3, sekali lagi menghasilkan 45. Mengikut lineariti, jumlah asal ialah 2 kali jumlah k dari 3 hingga 7, tolak lima salinan 1: 2×25−5=45.
Sigma notation, indices and changed limits
In a sum from k=a to b, substitute each integer a,a+1,…,b into the summand and add the results
Check whether a sequence or sum argument preserves all its defining information.
Evaluate the sum of (2k−1) from k=3 to 7.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Add 5+7+9+11+13=45.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jumlah inklusif dari 3 hingga 7 memiliki lima suku, bukan empat atau tujuh. Kurangkan awalan melalui a−1, bukan melalui a, saat mengubah batas bawah. Konstanta ditambahkan sekali per nilai indeks: jumlah c dari a hingga b adalah c(b−a+1). Menggeser indeks mengubah kedua batas dan suku penjumlah.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Menamai atau menggeser indeks tidak pernah memerlukan perubahan pada suku penjumlahan. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
How many terms occur in that sum?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Count inclusive integer indices: 7−3+1=5.
Renaming or shifting an index never requires changing the summand.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An inclusive sum from 3 to 7 has five terms, not four or seven. Subtract the prefix through a−1, not through a, when changing the lower limit. A constant is added once per index value: the sum of c from a to b is c(b−a+1). Shifting the index changes both bounds and the summand.
Interpretasikan situasi baru
- Untuk jumlah (2k−1) dari k=1 hingga n, indeks k berubah sementara n adalah batas atas tetap; hasilnya adalah n² untuk bilangan bulat positif n. Dengan demikian, ekor dari k=m hingga n adalah n²−(m−1)² untuk 1≤m≤n. Jabarkan beberapa suku untuk memeriksa manipulasi simbolik sebelum menerapkan rumus jumlah.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
After j=k−2, what is the new upper limit?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
When k=7, j=7−2=5.
Match each sigma manipulation to its correct form.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The index is a dummy variable: renaming or shifting it must change the bounds and the summand consistently.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · D. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan tugas tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Variabel yang mengambil setiap nilai bilangan bulat di antara batas-batas yang disebutkan dalam sebuah deret. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.