Deret aritmatika dan masalah invers
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | beda |
Dua suku yang diketahui mengungkap barisan aritmatika. Dapatkah total yang dinyatakan memberi tahu kita tepat berapa banyak suku yang ditambahkan?
- Dua suku yang diketahui mengungkap barisan aritmatika. Dapatkah total yang dinyatakan memberi tahu kita tepat berapa banyak suku yang ditambahkan?
- Pelajaran ini mempelajari beda: Jumlah tetap yang ditambahkan ke setiap suku untuk mendapatkan suku berikutnya.
Pilih struktur matematika
- Untuk suku pertama a dan beda d, u_n=a+(n−1)d. Jumlah n suku adalah S_n=n[2a+(n−1)d]/2=n(a+u_n)/2. Mengpasangkan suku pertama dan terakhir memberikan total pasangan yang sama sepanjang waktu. Masalah invers mungkin memerlukan penyelesaian persamaan simultan untuk a,d atau persamaan kuadrat untuk n; jumlah suku haruslah bilangan bulat positif.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Menyelesaikan 3n²+5n-350=0 untuk mencari banyak suku menghasilkan n=10 dan n=-35/3. Mengapa hanya 10 yang dipilih?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Banyak suku adalah sebuah hitungan: positif dan bulat. n=-35/3 gagal memenuhi keduanya, dan pembulatan nilainya akan menghasilkan total yang tidak memenuhi rumus jumlah - periksa S_10=175 secara langsung.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Diberikan u₃=10 dan u₇=22, tuliskan a+2d=10 dan a+6d=22. Penolakan menghasilkan d=3 dan a=4, jadi u_n=3n+1 dan S_n=n(3n+5)/2. Untuk mencari jumlah 175, selesaikan 3n²+5n−350=0=(n−10)(3n+35). Punca-punca ialah 10 dan −35/3; hanya n=10 ialah integer positif. Semak u₁₀=31 dan S₁₀=10(4+31)/2=175. Jumlah tepat 200 tiada n integer: S₁₀=175 dan S₁₁=209, dan sebutan positif ini menjadikan jumlah meningkat secara ketat.
Deret aritmatika dan masalah invers
Untuk suku pertama a dan beda d, u_n=a+(n−1)d
Periksa rumus deret mana yang menjawab pertanyaan dan apakah kondisinya terpenuhi.
Temukan a ketika u₃=10 dan u₇=22 dalam barisan aritmatika.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kurangkan persamaan dua suku tersebut untuk mendapatkan 4d=12, kemudian a=10−2×3=4.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Suku ke-n dan jumlah n suku adalah besaran yang berbeda. Suku ke-n mengandung n−1 beda, bukan n. Jangan membulatkan solusi bukan bilangan bulat untuk jumlah suku yang pasti. Jika soal meminta total pertama setidaknya suatu target, periksa total bilangan bulat tetangganya. Tidak semua deret aritmatika memiliki jumlah parsial yang meningkat.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Solusi bukan bilangan bulat untuk jumlah suku yang pasti selalu dapat dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan beda umum d.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d=(22−10)/(7−3)=3.
Solusi bukan bilangan bulat untuk jumlah suku yang eksak selalu dapat dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku ke-n dan jumlah n suku adalah besaran yang berbeda. Suku ke-n mengandung n−1 selisih, bukan n. Jangan membulatkan solusi bukan-bilangan bulat untuk jumlah suku yang eksak. Jika soal meminta total pertama minimal suatu target, periksa total bilangan bulat tetangganya. Tidak semua deret aritmatika memiliki jumlah parsial yang meningkat.
Interpretasikan situasi baru
- Untuk barisan ini, n terkecil yang memberikan S_n≥200 adalah 11, karena total sebelumnya adalah 175. Nyatakan apakah masalah meminta total pasti atau ambang batas. Rumus jumlah masih berlaku untuk beda negatif, tetapi asumsi kepositifan atau monotonisitas harus diperiksa dari suku-suku sebenarnya.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Berapa banyak suku yang menghasilkan total 175 dalam barisan ini?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Persamaan jumlah difaktorkan menjadi (n−10)(3n+35)=0; pertahankan bilangan bulat positif 10.
Pasangkan setiap rumus deret aritmatika dengan besaran yang sesuai.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Suku ke-n mengandung n-1 selisih, bukan n; masalah invers menyelesaikan sistem persamaan simultan untuk a dan d sebelum menyentuh jumlah apa pun.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · D. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan tugas tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Jumlah tetap yang ditambahkan ke setiap suku untuk mendapatkan suku berikutnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.