Jumlah geometri, rasio berganti tanda dan konvergensi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rasio sekutu |
Pembayaran bergantian bisa memiliki total terkumpul yang stabil. Mengapa rasio negatif tidak otomatis mencegah konvergensi?
- Pembayaran bergantian bisa memiliki total terkumpul yang stabil. Mengapa rasio negatif tidak otomatis mencegah konvergensi?
- Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Faktor tetap yang mengalikan setiap suku untuk mendapatkan suku berikutnya.
Pilih struktur matematika
- Untuk suku pertama a dan rasio tak nol r, u_n=ar^(n−1). Jika r=0, suku-sukunya adalah a,0,0,…, menghindari ekspresi 0^0 pada suku pertama. Untuk r≠1, jumlah terbatas adalah S_n=a(1−r^n)/(1−r); untuk r=1 nilainya na. Untuk a tak nol, jumlah geometri tak hingga ada ketika |r|<1 dan bernilai a/(1−r). Rasio negatif mengubah tanda; konvergensi bergantung pada magnitudonya, bukan tandanya saja.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa deret dengan a=6, r=-1/2 konvergen meskipun tandanya berselang-seling?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya besar rasio yang menentukan: |r|=1/2<1, sehingga suku-suku cenderung ke nol dan jumlah adalah 6/(1+1/2)=4. Tanda hanya membuat jumlah parsial bergantian di atas dan di bawah 4.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk a=6 dan r=−1/2, suku-sukunya adalah 6,−3,3/2,−3/4,… . Empat suku pertama berjumlah 15/4=3.75. Rumus terbatas menghasilkan S₄=6[1−(−1/2)^4]/(1+1/2)=15/4. Karena |r|=1/2<1, S infinity=6/(1+1/2)=4. The signed remainder is 4−S_n=4(−1/2)^n, so odd partial sums are above 4 and even partial sums below 4. For error below 0.01, require 4/2^n<0.01. At n=8 the error is 1/64>0.01; pada n=9 nilainya 1/128<0.01, sehingga 9 suku pertama memenuhi kondisi.
Jumlah geometri, rasio berganti tanda dan konvergensi
Untuk suku pertama a dan rasio nonzero r, berlaku u_n=ar^(n−1)
Periksa rumus deret mana yang menjawab pertanyaan dan apakah kondisinya terpenuhi.
Temukan u₃ untuk a=6 dan r=−1/2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₃=6(−1/2)²=6/4=1.5.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jangan ganti r=−1/2 dengan r=1/2 dalam rumus terbatas: paritas n penting. Rumus jumlah tak terhingga tidak dibenarkan pada r=1 atau r=−1 untuk a nonzero; suku-sukunya tidak cenderung ke nol. Jumlah terbatas dapat ada bahkan ketika kelanjutan tak terhingganya divergen.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap deret geometri dengan rasio negatif selalu divergen. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan jumlah empat suku pertamanya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
6−3+3/2−3/4=15/4=3.75.
Setiap deret geometri dengan rasio negatif akan divergen.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jangan ganti r=−1/2 menjadi r=1/2 dalam rumus berhingga: paritas n berpengaruh. Rumus jumlah tak hingga tidak sah pada r=1 atau r=−1 untuk a yang nonzero; sukunya tidak menuju nol. Jumlah berhingga dapat ada meskipun kelanjutan tak hingganya divergen.
Interpretasikan situasi baru
- Periksa beberapa suku pertama dan jumlah parsial secara langsung sebelum menggunakan rumus. Jika |r|>1 dan a nonzero, besaran suku bertambah alih-alih menghilang. Pada r=−1, jumlah parsial bergantian antara a dan 0 alih-alih mendekati satu nilai. Barisan nol a=0 adalah pengecualian degeneratif; identifikasikanlah alih-alih mengklaim konvergensi dengan suku pertama nonzero.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan jumlah tak hingga-nya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Karena |r|<1, jumlah tak hingga adalah 6/(1+1/2)=4.
Pasangkan setiap besaran geometri dengan rumusnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Eksponennya n-1 karena suku pertama membawa r^0; rumus tak hingga tidak sah pada r=±1 di mana suku-suku tidak mengecil.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · D. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan tugas tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Faktor tetap yang mengalikan setiap suku untuk mendapatkan suku berikutnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan tafsirkan hasilnya.