Factorials, combinations and binomial coefficients
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | kombinasi |
Koefisien binomial mengira faktor mana menyumbang sebutan x. Mengapa pekali x² bukan sekadar nombor tengah dalam segitiga Pascal?
- Koefisien binomial mengira faktor mana menyumbang sebutan x. Mengapa pekali x² bukan sekadar nombor tengah dalam segitiga Pascal?
- Pelajaran ini mengkaji kombinasi: suatu pemilihan di mana urutan tidak membezakan pilihan yang berbeza.
Pilih struktur matematika
- Untuk integer n bukan negatif, n!=n(n−1)…1 dan 0!=1. Untuk 0≤r≤n, nCr=n!/[r!(n−r)!] mengira pemilihan tanpa urutan. Dalam (a+bx)^n dengan integer positif n, pekali x^r ialah nCr × a^(n−r) × b^r. Nombor sebutan ialah r+1 apabila pengembangan ditulis dalam kuasa menaik bagi x.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Why is the x² coefficient in (2+3x)⁴ not just 4C2=6?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The binomial coefficient counts the arrangements; the x² term is 4C2×2²×(3x)²=6×4×9x²=216x². Omitting the a and b powers is the standard error.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
4!=24 dan 4C2=24/(2×2)=6. Peletak untuk n=4 adalah 1,4,6,4,1. Dalam (2+3x)^4, sebutan x² ialah 4C2×2²×(3x)²=216x²; pemalar ialah 2⁴=16 dan sebutan x ialah 4×2³×3x=96x. Untuk empat ujian bebas dengan kebarangkalian kejayaan setiap satu 1/3, tepat dua kejayaan mempunyai kebarangkalian 4C2×(1/3)²×(2/3)²=8/27. Peletak 6 mengira kemungkinan kedudukan kejayaan; setiap susunan mempunyai kebarangkalian yang sama.
Factorials, combinations and binomial coefficients
For a nonnegative integer n, n!=n(n−1)…1 and 0!=1
Connect a factored expression to its graph or expansion coefficients.
Evaluate 4!.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4!=4×3×2×1=24.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Jangan abaikan kuasa a atau b apabila menggunakan koefisien kombinasi. Sebutan x² ialah sebutan ketiga, bukan sebutan kedua. Ungkapan kebarangkalian memerlukan bilangan ujian tetap, hasil binari bebas dan kebarangkalian kejayaan yang sama; kebarangkalian berubah membatalkan model mudah ini.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Pekali x² bagi (a+bx)^n sentiasa hanyalah nC2. Klaim ini adalah salah. Terangkan definisi atau anggapan mana yang dilanggarnya.
Evaluate 4C2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4C2=4!/(2!2!)=24/4=6.
The x² coefficient of (a+bx)^n is always just nC2.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not omit the powers of a or b when using a combination coefficient. The x² term is the third term, not the second. The probability expression needs a fixed number of trials, independent binary outcomes and the same success probability; a changing probability invalidates this simple model.
Interpretasikan situasi baru
- Gunakan simetri nCr=nC(n−r) dan ringkaskan faktor faktorial sebelum mengira. Untuk mencari pekali x³ dalam (2+3x)^4, gunakan 4C3×2×3³=216. Formula polinom terhingga di sini adalah untuk integer positif n; eksponen rasional sebaliknya akan menghasilkan siri binomial umum yang berasingan dengan julat kesahihannya.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Find the coefficient of x² in (2+3x)^4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient is 6×2²×3²=216.
Match each binomial quantity to its value or rule.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
nCr counts unordered selections; in an expansion it multiplies a^(n-r)b^r, and ascending powers start at r=0.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · D. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan tugas tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Sebuah pemilihan di mana urutan tidak membedakan pilihan yang berbeda. Pilih hubungan, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.