Ekspansi binomial dan pendekatan yang valid
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | koefisien binomial |
Bagaimana perubahan kecil mempengaruhi suatu pangkat?
- Perubahan pengukuran kecil mempengaruhi pangkat dari suatu besaran. Ekspansi dapat menunjukkan ukuran efek pertama dan kedua.
- Pelajaran ini mempelajari koefisien binomial: Jumlah cara memilih sejumlah objek tertentu dari suatu himpunan.
Pilih struktur matematika
- Untuk n bilangan bulat positif, (a+b)^n adalah ekspansi binomial terbatas. Untuk n bukan bilangan bulat, jabarkan (1+x)^n sebagai 1+nx+n(n-1)x²/2+... dengan |x|<1. Keluarkan konstanta sebelum menggunakan bentuk ini.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Untuk ekspansi tak hingga (1+2x)^(-1), syarat apa yang diperlukan?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Syarat validitas |u|<1 berlaku untuk seluruh suku u=2x, sehingga |x|<1/2. Menggunakan |x|<1 akan secara keliru menerima x=0.9, di mana deret tersebut divergen.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Untuk (1+x)^(-1), tiga suku pertama adalah 1-x+x²; pada x=0.1 ini menghasilkan 0.91 dibandingkan dengan nilai eksak 1/1.1≈0.909091.
Ekspansi binomial dan pendekatan yang valid
Untuk bilangan bulat positif n, (a+b)^n adalah perluasan binomial hingga
Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.
Temukan koefisien dari x² dalam (1+2x)^5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pilih dua dari lima faktor dan sertakan 2²: C(5,2)×4=40.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Ekspansi dalam 2x memerlukan |2x|<1 untuk deret tak hingga, bukan sekadar |x|<1. Ekspansi bilangan bulat positif bersifat terbatas dan tidak memiliki batasan konvergensi tersebut.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap ekspansi binomial adalah polinomial terbatas, termasuk pangkat yang bukan bilangan bulat positif. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Gunakan 1-x+x² untuk mengestimasi 1/(1+x) pada x=0.1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitusikan 0.1: 1-0.1+0.01=0.91.
Setiap perluasan binomial adalah polinoma hingga, termasuk pangkat yang bukan bilangan bulat positif.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Necessary condition untuk perluasan tak hingga dalam 2x adalah |2x|<1, bukan sekadar |x|<1. Perluasan dengan pangkat bilangan bulat positif bersifat hingga dan tidak memiliki batasan konvergensi tersebut.
Interpretasikan situasi baru
- Nyatakan jangkauan validitas bersama dengan aproksimasi. Pertahankan cukup banyak suku untuk mendukung akurasi yang diminta, dan bedakan koefisien dari seluruh suku yang mengandung x.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Berapa banyak suku dalam ekspansi penuh dari (a+b)^5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pangkat-pangkat berjalan dari 0 hingga 5, menghasilkan enam suku.
Pasangkan setiap fakta ekspansi dengan pernyataannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pangkat bilangan bulat positif diekspansikan secara terbatas dengan koefisien binomial; pangkat lainnya menghasilkan deret tak hingga yang hanya konvergen di dalam interval validitas.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · D. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan tugas tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Jumlah cara memilih sejumlah objek tertentu dari suatu himpunan. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.