H · Integration

AQA A-level Matematika 7357, bagian H (Integrasi), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: diferensiasi dari bagian G.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Grafik kecepatan pelari turun di bawah sumbu waktu untuk sementara waktu, lalu naik kembali. "Luas di bawah kurva" hampir nol — apakah pelari tidak bergerak sama sekali?
• Sebelum membaca lebih lanjut, jelaskan apa yang dimaksud dengan luas berteanda, dan bagaimana jarak total berbeda dengan perpindahan.

Metode

• Integrasi membalikkan diferensiasi: antiturunan dari axⁿ adalah axⁿ⁺¹/(n+1) + C untuk n ≠ −1, sedangkan 1/x terintegralkan menjadi ln|x| + C. Integral tentu dari a ke b adalah akumulasi bertanda: F(b) − F(a).
• Area bertanda saling meniadakan di mana kurva memotong sumbu, sehingga total area positif memerlukan integral DIBAGI pada setiap titik potong. Teorema Fundamental menghubungkan kedua arah tersebut: mendiferensiasikan fungsi akumulasi menghasilkan kembali fungsi yang diintegralkan.
• antiturunan: Fungsi yang turunannya adalah fungsi yang diintegralkan; integral tentu: Akumulasi bertanda dari suatu fungsi antara dua batas; Teorema Fundamental: Kaitan dua arah di mana mendiferensiasikan fungsi akumulasi mengembalikan fungsi yang diintegralkan.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Verifikasi setiap antiturunan dengan mendiferensiasikannya kembali, dan tetap gunakan konstanta C untuk integral tak tentu — titik yang diberikan akan memperbaikinya. Kasus n = −1 bersifat terpisah: 1/x terintegralkan menjadi ln|x|, bukan aturan pangkat dengan pembagian nol.
• Sebelum menghitung total area, tentukan perubahan tanda fungsi yang diintegralkan pada interval tersebut dan bagi di sana; kecepatan dengan perubahan tanda menghasilkan jawaban perpindahan dan jarak total yang berbeda.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: v(t) = 3t² − 3 untuk 0 ≤ t ≤ 2. Sebuah antiturunan adalah t³ − 3t. Perpindahan = [t³ − 3t] dari 0 ke 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. Namun v = 0 pada t = 1, sehingga jarak total = −[t³ − 3t] dari 0 ke 1 + [t³ − 3t] dari 1 ke 2 = 2 + 4 = 6 m.

Contoh:

Temukan area antara y = x² dan sumbu-x dari 0 ke 1, lalu estimasi persegi panjang ujung kanan dengan 4 strip, menggunakan urutan yang sama. (Jawaban: eksak ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333; estimasinya adalah (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, merupakan overestimasi untuk kurva cekung naik ini.)

Batasan dan jebakan

• Integrasi adalah limit dari jumlah persegi panjang; jumlah strip terbatas hanya mengestimasi hal itu, dan kesalahannya bergantung pada kelengkungan. Jangan mengintegralkan melintasi ketidakterputusan seperti 1/x pada x = 0, dan ingatlah bahwa area bertanda bisa nol sementara total area bernilai positif.

Peringatan:

Integral tentu selalu sama dengan total area positif antara kurva dan sumbu. Klaim ini salah: integral BERANDA — daerah di bawah sumbu dihitung negatif, sehingga perpindahan bisa kecil atau nol sementara total jarak tempuh besar.

Kunci:

Integrasi: antiturunan diverifikasi dengan m diferensiasikan kembali, dengan C diperbaiki oleh titik yang diberikan; integral tentu adalah akumulasi bertanda F(b) − F(a); total area membutuhkan pembagian pada setiap perubahan tanda, dan Teorema Fundamental menghubungkan akumulasi dengan fungsi yang diintegralkan.