Antiturunan elementer, koefisien, dan domain
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | antiturunan |
Pencerapan mendarabkan argumen eksponen atau trigonometri dengan pekali utamanya. Bagaimanakah pengamiran mesti membatalkan faktor itu?
- Diferensiasi mengalikan argumen eksponensial atau trigonometri dengan koefisiennya. Bagaimana integrasi harus membatalkan faktor tersebut?
- Pelajaran ini mempelajari antiturunan: Fungsi yang turunannya adalah fungsi integran tertentu pada interval yang ditentukan.
Pilih struktur matematika
- Untuk kuasa nyata pada domain yang dibenarkan dan boleh diferensiasi, kamirkan x^n sebagai x^(n+1)/(n+1)+C apabila n≠−1. Kamirkan 1/x sebagai ln|x|+C pada selang yang mengecualikan sifar. Untuk k≠0, kamiran e^(kx), sin(kx), cos(kx) masing-masing ialah e^(kx)/k, −cos(kx)/k, sin(kx)/k, ditambah pemalar. Guna lineariti untuk jumlah dan mendarabkan pemalar; sahkan dengan pencerapan.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa integral dari 1/x bukan x⁰/0 atau kasus aturan pangkat lainnya?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan pangkat membagi dengan n+1, yang gagal tepat pada n=-1. Celah ini diisi oleh logaritma: (ln|x|)′=1/x di kedua sisi nol, dengan |x| mencakup input negatif.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk f(x)=6x²−4e^(2x)+3cos(3x)−2sin(2x)+5/x dengan x>0, F=2x³−2e^(2x)+sin(3x)+cos(2x)+5ln x+C. Setiap turunan mengembalikan suku yang sesuai. Pada x<0, integralkan 5/x sebagai 5ln(−x), atau 5ln|x|; konstanta dapat berbeda pada interval yang tidak terhubung. Integral dari 3cos(3x) dari 0 hingga π/6 adalah sin(π/2)−sin 0=1. Untuk F′=6x² dan F(1)=7, F=2x³+5. Jika k=0, e^(kx)=1 dan cos(kx)=1 diintegralkan menjadi x+C, sedangkan sin(kx)=0 diintegralkan menjadi C; jangan pernah membagi dengan k=0.
Antiturunan elementer, koefisien, dan domain
Untuk pangkat riil pada domain terdiferensiasi yang diperbolehkan, integralkan x^n sebagai x^(n+1)/(n+1)+C ketika n≠−1
Periksa hipotesis, titik akhir, dan koefisien di balik setiap perhitungan integral.
Untuk F′=6x² dan F(1)=7, temukan konstanta integrasi.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
7=2×1³+C menghasilkan C=5.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Pangkat n=−1 merupakan kasus logaritmik terpisah, bukan pembagian nol dalam rumus pangkat. Pertahankan tanda pada antiturunan sinus dan bagi dengan koefisien argumen. ln x saja tidak mencakup nilai x negatif. Integral tak tentu memerlukan konstanta; integral tentu memiliki nilai numerik ketika batas yang valid disediakan. Pangkat pecahan riil mungkin membatasi domain.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Mengintegral cos(kx) selalu menghasilkan k sin(kx), termasuk k=0. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan integral tentu terpecah dari 3cos(3x).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Antiturunan sin(3x) menghasilkan sin(π/2)−sin 0=1.
Mengintegralkan cos(kx) selalu menghasilkan k sin(kx), termasuk k=0.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pangkat n=−1 merupakan kasus logaritma terpisah, bukan pembagian dengan nol dalam rumus pangkat. Pertahankan tanda pada antiturunan sinus dan bagi dengan koefisien argumen. ln x saja tidak mencakup nilai x negatif. Integral tak tentu memerlukan konstanta; integral tentu memiliki nilai numerik ketika batas yang valid diberikan. Pangkat pecahan riil dapat membatasi domain.
Interpretasikan situasi baru
- Turunkan suku demi suku untuk memeriksa koefisien dan tanda, serta nyatakan interval sebelum menggunakan logaritma atau pangkat pecahan. Bentuk elementer H2 meliputi pangkat, e^(kx), 1/x, sin(kx), dan cos(kx). Bentuk lain memerlukan justifikasi terpisah dan tidak dinyatakan sebagai bentuk H2 wajib tambahan.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Evaluasi turunan dari 5ln|x| pada x=−2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Turunannya adalah 5/x pada setiap interval yang diizinkan, menghasilkan −5/2.
Pasangkan setiap fungsi pengintegrasian dengan fungsi antiturunannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Verifikasi setiap fungsi antiturunan dengan menurunkan kembali; sinus membawa tanda minus, dan k=0 menyederhanakan konstanta yang memerlukan perlakuan terpisah.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · H. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Fungsi yang turunannya adalah fungsi integran tertentu pada interval yang ditentukan. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.