Teorema Fundamental dan perubahan terakumulasi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | fungsi akumulasi |
Pengukur aliran melaporkan laju yang berubah. Bagaimana volume terakumulasi memulihkan laju yang sama ketika diturunkan?
- Pengukur aliran melaporkan laju yang berubah. Bagaimana volume terakumulasi memulihkan laju yang sama ketika diturunkan?
- Pelajaran ini mempelajari fungsi akumulasi: sebuah fungsi yang nilainya adalah integral bertanda dari titik awal tetap hingga ujung variabel.
Pilih struktur matematika
- Untuk f kontinu pada suatu interval, A(x)=integral dari a ke x dari f(t) dt memiliki A′(x)=f(x). Jika F′=f, integral tentu dari a ke b adalah F(b)−F(a). Dua arah ini menghubungkan akumulasi dan diferensiasi. Variabel dummy t diintegrasikan; x adalah ujung yang bergerak. Untuk A(g(x)), terapkan aturan rantai: turunannya adalah f(g(x))g′(x).
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Untuk A(x)=∫₁(3t²-2)dt, mengapa A(2)=5 dan A′(2)=10 adalah angka berbeda?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Teorema Dasar memiliki dua arah: akumulasi menurunkan kembali ke fungsi integran, A′(x)=f(x), sedangkan integral tentu F(b)-F(a) mengukur perubahan total. Di sini x³-2x+1 pada 2 adalah 5, tetapi f(2)=10.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Misalkan A(x)=integral dari 1 ke x dari (3t²−2) dt. Antiturunan adalah t³−2t, sehingga A(x)=x³−2x+1, A(1)=0, A(2)=5 dan A′(2)=10. Jadi perubahan terakumulasi 5 berbeda dari laju ujung 10. Untuk B(x)=integral dari 1 ke x² dari (3t²−2) dt, B′(x)=(3x⁴−2)2x; pada x=1 hal ini menjadi 2. Secara independen, jika F′=3x²−2 dan F(1)=4, maka F=x³−2x+5. Perubahannya F(2)−F(1)=5 sesuai dengan A(2), meskipun nilai awalnya tidak nol.
Teorema Fundamental dan perubahan terakumulasi
Untuk f kontinu pada suatu interval, A(x)=integral dari a ke x dari f(t) dt memiliki A′(x)=f(x)
Periksa hipotesis, titik akhir, dan koefisien di balik setiap perhitungan integral.
Temukan A(2) untuk fungsi akumulasi yang dikerjakan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(2)=8−4+1=5.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Kurangi nilai antiturunan bawah bahkan ketika batas bawahnya bukan nol. Integral tentu adalah perubahan bertanda, bukan otomatis luas positif total. A′(x) adalah integran pada ujung, bukan antiturunannya. Kontinuitas pada interval relevan adalah hipotesis yang cukup; jangan mengintegrasikan melintasi kutub seperti 1/t di nol. Ujung yang bergerak x² juga berkontribusi dengan faktor aturan rantainya.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Turunan dari fungsi akumulasi selalu merupakan total terakumulasinya. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan A′(2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A′(2)=3×4−2=10.
Turunan dari fungsi akumulasi selalu merupakan total terkumulasinya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kurangkan nilai antiturunan bawah meskipun batas bawahnya bukan nol. Integral tentu adalah perubahan bertanda, bukan otomatis luas positif seluruhnya. A′(x) adalah integran pada titik akhir, bukan antiturunannya. Kontinuitas pada interval yang relevan adalah hipotesis yang cukup; jangan mengintegralkan melintasi kutub seperti 1/t di nol. Titik akhir yang bergerak x² juga memberikan faktor aturan rantai.
Interpretasikan situasi baru
- Gunakan satuan laju dikalikan dengan satuan input untuk perubahan terakumulasi. Periksa A(a)=0 dan turunkan ekspresi akhir untuk memulihkan f. Nilai awal menentukan konstanta dalam fungsi keadaan; perubahan tentu tidak bergantung pada konstanta antiturunan sembarang. Pelajaran ini memberikan teorema dan contoh batas variabel elementer; integral tak wajar berada di luar penanganan ini.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan B′(1) untuk titik akhir yang bergerak.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
B′(1)=(3−2)×2=2.
Cocokkan setiap komponen teorema dengan pernyataannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Variabel dummy t diintegrasikan keluar; titik akhir x adalah apa yang jawaban bergantung padanya, dan titik akhir non-linear membawa faktor rantai sendiri.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · H. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Sebuah fungsi yang nilainya adalah integral bertanda dari titik awal tetap hingga ujung variabel. Pilih hubungan tersebut, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.