Cabang trigonometri invers dan nilai utama
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | nilai utama |
Rasio tinggi memberikan banyak kemungkinan sudut roda. Bagaimana kalkulator memilih salah satu di antaranya?
- Rasio tinggi memberikan banyak kemungkinan sudut roda. Bagaimana kalkulator memilih tepat satu darinya?
- Pelajaran ini mempelajari nilai utama: Output invers tunggal yang dipilih dari interval terbatas yang dinyatakan.
Pilih struktur matematika
- Batasi sinus ke [−π/2,π/2] untuk mendefinisikan arcsin dengan domain [−1,1] dan range [−π/2,π/2]. Batasi kosinus ke [0,π] untuk arccos, dengan domain [−1,1] dan range [0,π]. Batasi tangen ke (−π/2,π/2) untuk arctan, dengan setiap input real dan range (−π/2,π/2). Grafik invers ini memantulkan grafik dasar terbatas dalam y=x.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa arcsin(sin(5π/6)) sama dengan π/6, bukan 5π/6?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sine dibatasi pada [-π/2,π/2] agar menjadi satu-satu; invers hanya dapat mengembalikan nilai dari cabang tersebut. Sudut asli dipulihkan hanya jika sudah berada dalam interval yang dibatasi.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
arcsin(1/2)=π/6, arccos(−1/2)=2π/3 dan arctan(−1)=−π/4. Meskipun sin(5π/6)=1/2, arcsin(sin(5π/6))=π/6, bukan 5π/6. Demikian pula arccos(cos(4π/3))=2π/3 dan arctan(tan(3π/4))=−π/4. Untuk sin x=1/2 pada [0,2π), nilai utama α=π/6 menghasilkan kedua solusi α dan π−α=5π/6. Untuk cos x=−1/2 solusinya adalah 2π/3 dan 4π/3; tangen mengulang nilai utamanya setelah π.
Cabang trigonometri invers dan nilai utama
Batasi sinus ke [−π/2,π/2] untuk mendefinisikan arcsin dengan domain [−1,1] dan range [−π/2,π/2]
Jelaskan batasan penyebut atau cabang mana yang membuat setiap langkah valid.
Tulis arcsin(1/2)=kπ. Temukan k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sudut sinus utama adalah π/6, sehingga k=1/6.
Uji jalan pintas yang menggoda
- sin(arcsin u)=u hanya untuk −1≤u≤1; arcsin(sin x)=x hanya pada cabang sinus yang dibatasi. Arccos menurun, sehingga arccos(−1)=π dan arccos(1)=0. Arctan mendekati ±π/2 saat input membesar namun tidak pernah mencapai batas tersebut. Nilai utama saja bukanlah himpunan penyelesaian interval penuh.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Menerapkan invers sinus setelah sinus mengembalikan sudut asli untuk setiap sudut real. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Tulis arccos(−1/2)=kπ. Temukan k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cosinus bernilai −1/2 pada 2π/3 pada interval [0,π], sehingga k=2/3.
Menerapkan sinus invers setelah sinus mengembalikan sudut asli untuk setiap sudut real.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(arcsin u)=u hanya untuk −1≤u≤1; arcsin(sin x)=x hanya pada cabang sinus yang dibatasi. Arccos menurun, sehingga arccos(−1)=π dan arccos(1)=0. Arctan mendekati ±π/2 saat input bertambah besar namun tidak pernah mencapai batas tersebut. Nilai utama saja bukan himpunan solusi interval penuh.
Interpretasikan situasi baru
- Tandai titik domain dan interval output sebelum composing fungsi. Pada grafik invers, arcsin berjalan dari (−1,−π/2) ke (1,π/2), arccos dari (−1,π) ke (1,0), dan arctan melewati (0,0) di antara asimtot horizontal. Pertahankan jawaban dalam radian kecuali derajat diminta, dan periksa semua kandidat persamaan di interval asli.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Tulis arctan(−1)=kπ. Temukan k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tangen bernilai −1 pada −π/4 pada interval (−π/2,π/2), sehingga k=−1/4.
Pasangkan setiap fungsi invers dengan rentang terbatasnya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Setiap cabang dipilih untuk membuat fungsi asal menjadi satu-satu; nilai utama kemudian menghasilkan seluruh himpunan penyelesaian melalui simetri dan periode.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · E. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Satu output invers yang dipilih dari interval terbatas yang dinyatakan. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.