The ambiguous sine-rule case and valid triangle counts
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | Kasus ambigu |
Dua sisi dan sudut non-apit dapat menggambarkan dua jenis tanah yang berbeda. Bagaimana kita memeriksa apakah kedua segitiga tersebut ada?
- Dua sisi dan sudut non-apit dapat menggambarkan dua jenis tanah yang berbeda. Bagaimana kita memeriksa apakah kedua segitiga tersebut ada?
- Pelajaran ini mempelajari kasus ambigu: Data segitiga yang dapat menghasilkan dua segitiga valid yang berbeda.
Pilih struktur matematika
- Misalkan A berhadapan dengan a, dengan b sebagai sisi diketahui lainnya. Aturan sinus memberikan sinB=b sinA/a. Jika rasio ini di atas 1 maka tidak ada segitiga. Sebaliknya, uji baik B=arcsin(b sinA/a) maupun pelengkapnya 180°−B. Pertahankan hanya C positif=180°−A−B; ketika B=90° kedua cabang bertepatan. Setiap sisi harus bernilai positif.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Given A=30°, a=7, b=10, why do TWO valid triangles exist?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse sine supplies an acute candidate, and its supplement is a second candidate. Both survive only because h<a<b with h=b sinA=5; with a=5 exactly one right triangle fits, and with a=4 none does.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Ambil A=30°, a=7 dan b=10. Maka sinB=5/7, sehingga B≈45.5847° atau 134.4153°. Keduanya menghasilkan C positif, sekitar 104.4153° atau 15.5847°. Sisi ketiga yang bersesuaian adalah c=5√3+2√6≈13.5592 dan c=5√3−2√6≈3.7613. Untuk menurunkannya, tempatkan A di titik asal dengan C=(10cos30°,10sin30°)=(5√3,5); B=(c,0). Syarat BC=7 memberikan (c−5√3)²+25=49. Kedua perpotongan terletak pada sumbu x positif. Luasnya adalah bc sinA/2=25√3/2±5√6, sehingga data yang sama tidak menentukan satu luas.
The ambiguous sine-rule case and valid triangle counts
Let A be opposite a, with b another known side
Justify each triangle candidate or transformed key point against its defining conditions.
How many triangles fit A=30°, a=7 and b=10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
h=10sin30°=5; 5<7<10 gives two positive baseline intersections.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Nilai arcsin kedua hanyalah kandidat: hal itu dapat membuat sudut yang tersisa menjadi nol atau negatif. Untuk sudut lancip A dan h=b sinA, kasusnya adalah a<h: tidak ada; a=h: satu segitiga siku-siku; h<a<b: dua; a≥b: satu. Pada a=b, irisan garis dasar tambahan adalah c=0, bentuk degenerat. Untuk sudut siku-siku atau tumpul A, a harus melebihi b agar ada satu segitiga; jika tidak, tidak ada.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Dua nilai arcsin selalu menghasilkan dua segitiga valid. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
How many fit A=30°, a=5 and b=10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a=h=5 gives one right triangle; the inverse-sine branches coincide.
Two inverse-sine values always give two valid triangles.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A second inverse-sine value is only a candidate: it may make the remaining angle zero or negative. For acute A and h=b sinA, the cases are a<h: none; a=h: one right triangle; h<a<b: two; a≥b: one. At a=b the extra baseline intersection is c=0, a degenerate shape. For right or obtuse A, a must exceed b for one triangle; otherwise none.
Interpretasikan situasi baru
- Dalam contoh h=5: mengubah a menjadi 5 menghasilkan satu segitiga siku-siku, ke 4 tidak ada, dan ke 10 menghasilkan satu dengan A=B=30°. Periksa jumlah sudut, urutan sisi, dan rekonstruksi aturan cosinus untuk setiap kandidat. Nyatakan kedua konfigurasi ketika informasi yang diberikan tidak memilih satu, dan pertahankan panjang/luas eksak jika memungkinkan.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
How many fit A=30°, a=4 and b=10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a=4<h=5 makes sinB=5/4>1, so no triangle exists.
Match each ambiguous-case condition (acute A, h=b sinA) to its triangle count.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A supplementary candidate is only a candidate: it must leave a positive third angle and positive sides before it counts.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · E. Sesuaikan tingkat target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Diberikan data segitiga yang dapat menghasilkan dua segitiga valid berbeda. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya, dan interpretasikan hasilnya.