G · Differentiation

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน G (Differentiation), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ.

ความรู้พื้นฐาน: การจัดการทางพีชคณิตและProgramming ฟังก์ชันจากส่วน B.

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• กราฟระยะทาง-เวลาของรถยนต์มีการโค้งต่อเนื่อง ทำให้ไม่มี "ความเร็ว" เดียวที่ครอบคลุมทั้งการเดินทาง — แต่ยังมีความเร็วหนึ่งค่าบนมาตรวัด ณ ปัจจุบัน ค่านั้นมีความหมายทางเรขาคณิตอย่างไร?
• ก่อนอ่านต่อ ให้บอกว่าการชันของเส้นสัมผัสแตกต่างจากความเร็วเฉลี่ยระหว่างสองช่วงเวลาอย่างไร

วิธีทำ

• อนุพันธ์ คือลิมิตของอัตราส่วนผลต่าง [f(x+h) − f(x)]/h เมื่อ h → 0: การชันของเส้นสัมผัสและอัตราทันที สำหรับ y = axⁿ, dy/dx = anxⁿ⁻¹; รูปแบบตรีโกณมิติและเอ็กซ์โพเนนเชียลตามมา: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, ในหน่วยเรเดียน.
• จุดนิ่ง มี dy/dx = 0; จัดประเภทโดยการใช้การเปลี่ยนแปลงสัญญาณของอนุพันธ์หรือสัญญาณของ อนุพันธ์อันดับสอง (บวก: จุดต่ำสุดท้องถิ่น; ลบ: จุดสูงสุดท้องถิ่น). กฎลูกโซ่ ผลคูณ และผลหารจัดการกับรูปแบบเชิงซ้อน โดยคงปัจจัยอัตราภายในทุกตัวไว้
• อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที, การชันของเส้นสัมผัส; จุดนิ่ง: จุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์; อนุพันธ์อันดับสอง: อนุพันธ์ของอนุพันธ์, วัดการเปลี่ยนแปลงของการชัน

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• อนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นเพียงจุดที่เป็นไปได้: y = x³ มีค่าคงที่ที่ 0 แต่ยังเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง ดังนั้นการจำแนกต้องอาศัยการเปลี่ยนเครื่องหมายหรือ f″ ในช่วงที่กำหนดให้ ให้เปรียบเทียบค่าที่ขอบด้วย — ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดอาจอยู่ที่ปลายช่วง
• หลังหาอนุพันธ์ของผลคูณเช่น xeˣ แล้ว ให้ตรวจสอบที่ค่า input ที่ง่าย: กฎผลคูณให้ eˣ + xeˣ ซึ่งที่ x = 0 ได้ 1 ไม่ใช่ 0 การคูณอนุพันธ์แยกกันจะได้ค่าผิด

กรณีฝึกทำ

• ข้อมูลที่ทราบ: y = x³ − 3x, ดังนั้น dy/dx = 3x² − 3. Stationary เมื่อ 3x² − 3 = 0: x = ±1. Second derivative คือ 6x: ที่ x = 1 ค่ามันคือ 6 > 0, ดังนั้น (1, −2) เป็นจุดต่ำสุดท้องถิ่น; ที่ x = −1 ค่ามันคือ −6 < 0, ดังนั้น (−1, 2) เป็นจุดสูงสุดท้องถิ่น.

ตัวอย่าง:

สำหรับ y = x³ − 3x ที่ x = 2, หาสมการเส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉากโดยใช้ลำดับขั้นตอนเดียวกัน: จุดจาก f → gradient จาก f′ → สมการเส้น. (คำตอบ: y = 2 ที่ x = 2 และ gradient คือ 9, ดังนั้นเส้นสัมผัสคือ y − 2 = 9(x − 2) และเส้นตั้งฉากคือ y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

ขอบเขตกับกับดัก

• อนุพันธ์ให้ความชัน ไม่ใช่พิกัด y — จุดนั้นมาจากโค้งเดิมเสมอ เส้นสัมผัสแนวนอน (ความชัน 0) จะมีเส้นตั้งฉากแนวตั้ง เขียนเป็น x = ค่าคงที่ เนื่องจากผกผันลบของศูนย์ไม่มีอยู่จริง

เตือน:

ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์จะเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง: y = x³ มี dy/dx = 0 ที่ x = 0 แต่อนุพันธ์ 3x² เป็นบวกทั้งสองข้าง — จุดเปลี่ยนผ่านแบบคงที่ ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเลย

จุดสำคัญ:

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์คือลิมิตของความชันของเส้นตัด ซึ่งให้ความชันของเส้นสัมผัสและอัตราการเปลี่ยนแปลง จุดวิกฤตเกิดจาก f′ = 0 และจัดประเภทโดยเครื่องหมายที่เปลี่ยนหรือ f″; เส้นสัมผัสและเส้นปกติใช้จุดจาก f และความชันจาก f′