อนุพันธ์กำลังเศษส่วนและโดเมนที่ใช้ได้
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rational power/ˈræʃənl ˈpaʊə/ | เลขชี้กำลังจำนวน有理数 |
กราฟรากที่สองมีความสูงจำกัดที่จุดศูนย์แต่มีความชันที่ไม่จำกัดอยู่ใกล้เคียง ทำไมอนุพันธ์จึงต้องมีโดเมนของตัวเอง?
- กราฟรากที่สองมีความสูงจำกัดที่จุดศูนย์แต่มีความชันที่ไม่จำกัดอยู่ใกล้เคียง ทำไมอนุพันธ์จึงต้องมีโดเมนของตัวเอง?
- บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลังตรรกยะ: เลขชี้กำลังที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ โดยตีความผ่านรากจริงที่มีนัยสำคัญ
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับเลขชี้กำลังตรรกยะ p, d(x^p)/dx=p x^(p−1) เมื่อฟังก์ชันจริงถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ คูณด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ อนุพันธ์ผลรวมและผลต่างทีละเทอม ค่าคงที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์ แปลงรากและส่วน역ให้เป็นเลขชี้กำลังก่อนลบหนึ่งออกจากเลขชี้กำลัง x ที่บวกใช้ได้กับเลขชี้กำลังตรรกยะทั้งหมด แต่ค่าติดลบและศูนย์ต้องตรวจสอบแยกต่างหาก
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
√x นิยามได้เมื่อ x=0 ทำไมอนุพันธ์จึงไม่จำกัดค่าที่นั่น?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การมีอยู่ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งไม่ได้หมายถึงอนุพันธ์มีค่าจำกัด: อัตราส่วนผลต่างสำหรับ √x ที่ 0 คือ 1/√h ซึ่งพุ่งเข้าหาอนันต์ ต้องตรวจสอบโดเมนของ f และ f′ แยกกัน
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ x>0, f=3√x−4/x+1/√x จะได้ f′=(3/2)x^(−1/2)+4x^(−2)−(1/2)x^(−3/2) ที่ x=4 ค่าที่ได้คือ 3/4+1/4−1/16=15/16 สำหรับ q=x^(2/3)=(รากที่สามของ x)², x ติดลบใช้ได้; q′=(2/3)x^(−1/3) สำหรับ x≠0 ดังนั้น q′(−8)=−1/3 ที่จุดศูนย์ q มีจุดยอด: อัตราส่วนผลต่าง |h|^(2/3)/h ลู่ไปอนันต์โดยมีสัญญาณตรงข้าม สำหรับ r=x^(4/3), [r(h)−r(0)]/h = รากที่สามของ h ลู่ไปศูนย์ ดังนั้น r′(0)=0 ดังนั้นเลขชี้กำลังเศษส่วนไม่ได้ออกตัวตัดจุดศูนย์ออกจากอนุพันธ์เสมอไป
อนุพันธ์กำลังเศษส่วนและโดเมนที่ใช้ได้
สำหรับเลขชี้กำลังตรรกะ p, d(x^p)/dx=p x^(p−1) เมื่อฟังก์ชันจริงถูกกำหนดและมีอนุพันธ์
เลือกกฎอนุพันธ์และรักษาสัมประสิทธิ์ อัตราภายใน และข้อจำกัดอินพุตให้ครบถ้วน
สำหรับ f ที่คำนวณแล้ว ให้หา f′(4)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3/2)/2+4/16−(1/2)/8=15/16.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- โดเมนของรากต้นแบบและโดเมนของอนุพันธ์อาจต่างกัน √x ถูกกำหนดที่ x=0, แต่ 1/(2√x) ไม่มีค่าจำกัดที่นั่น; 1/√x ไม่ถูกกำหนดที่นั่นเลย ตัวฐานที่เป็นลบต้องใช้เลขชี้กำลังตรรกยะที่ลดรูปแล้วโดยมีตัวส่วนเป็นจำนวนคี่ สำหรับ x<0, x^(2/3) หมายถึงกำลังสองของรากที่สามจริง ไม่ใช่การคำนวณลอการิทึมจริงที่ผิดกฎหมาย อย่าหาอนุพันธ์ส่วน역โดยการรักษาระดับเลขชี้กำลังเดิมหรือลบเครื่องหมายลบออก
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังตรรกยะที่ถูกกำหนดที่จุดศูนย์ทุกฟังก์ชันจะมีอนุพันธ์จำกัดที่จุดนั้น ข้ออ้างนี้เป็นเท็จ อธิบายว่าข้ออ้างนี้ขัดต่อนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับ x^(2/3), ให้หาอนุพันธ์ที่ x=−8
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รากสามของ −8 คือ −2; (2/3)/(−2)=−1/3
ฟังก์ชันกำลังตรรกะทุกตัวที่กำหนดไว้ที่ศูนย์จะมีอนุพันธ์มีค่าจำกัดที่จุดนั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
โดเมนรากเดิมและโดเมนอนุพันธ์อาจต่างกัน √x นิยามที่ x=0, แต่ 1/(2√x) ไม่มีค่าจำกัดที่นั่น; 1/√x ไม่นิยามที่นั่นเลย รากจริงลบต้องการเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดแล้วที่มีตัวหารเป็นจำนวนคี่ สำหรับ x<0, x^(2/3) หมายถึงกำลังสองของรากที่สามจริง ไม่ใช่การคำนวณลอการิทึมจริงที่ผิดกฎหมาย อย่าหาอนุพันธ์ของผล 역โดยคงเลขชี้กำลังเดิมหรือทิ้งเครื่องหมายลบ
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ระบุโดเมนต้นแบบก่อน แปลงแต่ละเทอม คูณสัมประสิทธิ์ด้วยเลขชี้กำลังแล้วลบหนึ่งออกจากเลขชี้กำลัง กลับไปใช้รากถ้าต้องการ ตรวจสอบอินพุตขอบเขตด้วยอัตราส่วนผลต่างต้นแบบเมื่ออนุพันธ์ทางรูปแบบไม่ถูกกำหนดหรือไม่ชัดเจน รักษาสัมประสิทธิ์เศษส่วนที่แน่นอนจนกว่าจะประเมินค่าสุดท้าย
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับ x^(4/3), ให้หาอนุพันธ์ที่ x=0
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ผลต่างส่วนเริ่มต้นคือรากสามของ h และมีค่าเข้าใกล้ศูนย์
จับคู่การเขียน ulangเลขชี้กำลังแต่ละแบบกับอนุพันธ์ของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แปลงรากและส่วนกลับเป็นเลขชี้กำลังก่อน แล้วใช้ p·x^(p-1) พร้อมสัมประสิทธิ์; เลขชี้กำลังจะลดลงพอดีหนึ่งหน่วย
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
เลขชี้กำลังที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ โดยตีความผ่านรากจริงที่มีนัยสำคัญ เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์