อนุพันธ์เอ็กซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และตรีโกณมิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| inner rate/ˈɪnə reɪt/ | อัตราภายใน |
คลื่นที่มีความถี่อินพุตเท่าสองเท่ามีความชันเริ่มต้นที่ชันกว่า ปัจจัยใดจำเป็นต้องปรากฏในอนุพันธ์ของมัน?
- คลื่นที่มีความถี่อินพุตเท่าสองเท่ามีความชันเริ่มต้นที่ชันกว่า ปัจจัยใดจำเป็นต้องปรากฏในอนุพันธ์ของมัน?
- บทเรียนนี้ศึกษา อัตราการเปลี่ยนแปลงภายใน: อนุพันธ์ของตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงอยู่ภายในฟังก์ชันเชิงซ้อน
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับค่าคงที่ k และ a>0: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx และ (tan kx)′=k sec²(kx), โดยที่ sec u=1/cos u. อินพุทตรีโกณมิติเป็นเรเดียน (ln x)′=1/x สำหรับ x>0. บวกเทอมที่หาอนุพันธ์แล้วและรักษาสัมประสิทธิ์ไว้
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไมการหาอนุพันธ์ของ a^(kx) จึงต้องใช้ ln a alongside กับ k?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มีเพียง e^(kx) เท่านั้นที่หาอนุพันธ์ได้เป็น k เท่าของตัวมันเองฐานอื่นต้องแปลงผ่าน e และเลขชี้กำลัง kx ln a จะดึง k ln a ลงมา การลืม ln a ทำให้ผิดพลาดตั้งแต่ 2^x
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ x>0 และ cos(x/2)≠0, ให้ f=2e^(3x)+3^(2x)−4lnx+sin2x−2cos3x+tan(x/2) แล้ว f′=6e^(3x)+2ln3·3^(2x)−4/x+2cos2x+6sin3x+(1/2)sec²(x/2) เทอม −2cos3x ให้ 6sin3x ที่เป็นบวกเนื่องจากสัมประสิทธิ์และเครื่องหมายของอนุพันธ์เป็นลบทั้งคู่ สำหรับ g=5^(−2x), g′=−2ln5·5^(−2x), ดังนั้น g′(0)=−2ln5 สำหรับ h=sin2x−2cos3x+tan(x/2), h′(0)=2+0+1/2=5/2 สำหรับ p=2e^(3x), p′(0)=6. ตัวฐาน a=1 ให้ค่าคงที่ 1 และอนุพันธ์เป็นศูนย์; k=0 ก็สร้างฟังก์ชันคงที่เช่นกัน
อนุพันธ์เอ็กซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และตรีโกณมิติ
สำหรับ k ค่าคงที่ และ a>0: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx และ (tan kx)′=k sec²(kx), โดยที่ sec u=1/cos u
เลือกกฎอนุพันธ์และรักษาสัมประสิทธิ์ อัตราภายใน และข้อจำกัดอินพุตให้ครบถ้วน
สำหรับ p=2e^(3x), ให้หา p′(0)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
คงสัมประสิทธิ์ 2 และอัตราภายใน 3: 6e⁰=6
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ค่าฐานของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นค่าคงที่ แต่เลขชี้กำลังเปลี่ยนแปลง: a^(kx) ต้องใช้ ln a连同 k.อนุพันธ์ของ ln x คือ 1/x, ไม่ใช่ ln x/x. ฟังก์ชันแทนเจนต์จะหาค่าไม่ได้เมื่อ cos(kx)=0 และอนุพันธ์ของมันยังคงการยกเว้นเหล่านี้ไว้ สูตรอนุพันธ์ในหน่วยเรเดียนต้องใช้ปัจจัย π/180 สำหรับตัวแปรในหน่วยองศา ค่า k ที่ติดลบจะเปลี่ยนเครื่องหมายของอัตราภายใน; มันต้องไม่หายไป
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
อนุพันธ์ของ a^(kx) คือ k a^(kx) สำหรับทุกฐานบวก a. ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับ h ที่แสดงวิธีทำ จงหา h′(0)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2cos0+6sin0+(1/2)sec²0=5/2
อนุพันธ์ของ a^(kx) คือ k a^(kx) สำหรับฐานบวก a ทุกค่า
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฐานเอกซ์โพเนนเชียลเป็นค่าคงที่แต่เลขชี้กำลังเปลี่ยนแปลง: a^(kx) ต้องใช้ทั้ง ln a และ k อนุพันธ์ของ ln x คือ 1/x ไม่ใช่ ln x/x Tangent ไม่กำหนดเมื่อ cos(kx)=0 และอนุพันธ์จะยังคงข้อจำกัดเหล่านั้นไว้ สูตรอนุพันธ์ในหน่วยเรเดียนต้องใช้ตัวคูณ π/180 สำหรับตัวแปรองศา k ที่มีค่าลบจะทำให้เครื่องหมายของอัตราภายในเปลี่ยนไป ซึ่งต้องไม่หายไปจากคำตอบ
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ระบุตระกูลฟังก์ชัน รักษาค่าสัมประสิทธิ์给它 differentiation ของฟังก์ชันภายนอกแล้วคูณด้วย k.列出 log และ tangent ที่ไม่อยู่ในโดเมนก่อนประเมินที่จุดหนึ่ง ตรวจสอบเครื่องหมายเทียบกับฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่เพิ่มขึ้น/ลดลง หรือทิศทางคลื่นในท้องถิ่น อนุพันธ์ของผลรวมเชิงเส้นได้มาจากการบวก ไม่ใช่การคูณพจน์
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับ y=ln x จงหาอนุพันธ์ที่ x=4
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าป้อนเข้าบวก 4 ให้ผลลัพธ์ 1/4
จับคู่ฟังก์ชันแต่ละตัวกับอนุพันธ์ของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อินพุตตรีโกณมิติอยู่ในหน่วยเรเดียน; ทุกพจน์ประกอบรักษาสัมประสิทธิ์และปัจจัยอัตราภายใน รวมถึงเครื่องหมายไว้
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อนุพันธ์ของอินพุตที่เปลี่ยนแปลงอยู่ภายในฟังก์ชันประกอบ เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐานและตีความผลลัพธ์