กฎผลคูณและผลหารโดยรักษาข้อจำกัดไว้
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | กฎผลหาร |
ทั้งสองพจน์ในพื้นที่ที่เปลี่ยนแปลงสามารถแปรผันได้ ทำไมการคูณอนุพันธ์แยกของแต่ละพจน์จึงพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงส่วนใหญ่?
- ทั้งสองพจน์ในพื้นที่ที่เปลี่ยนแปลงสามารถแปรผันได้ ทำไมการคูณอนุพันธ์แยกของแต่ละพจน์จึงพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงส่วนใหญ่?
- บทเรียนนี้ศึกษา กฎผลหาร: กฎสำหรับการหาอนุพันธ์ของอัตราส่วนของฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงสองตัวเมื่อตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ u,v ที่หาอนุพันธ์ได้ (uv)′=u′v+uv′. สำหรับ v≠0, (u/v)′=(u′v−uv′)/v². กฎผลคูณมีสองส่วน: การเปลี่ยนแปลงของพจน์ใดพจน์หนึ่งขณะที่ย่อ的那个 other 提供其 current value. กฎผลหารใช้ derivative of the numerator times the denominator, minus the numerator times the derivative of the denominator, all over v².
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
สำหรับ w=(x²-1)/(x-1) ทำไมการหาอนุพันธ์ที่ลดรูปแล้ว w′=1 จึงใช้ไม่ได้ที่ x=1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวประกอบ (x-1) จะตัดกันเหลือเพียง x+1 ก็ต่อเมื่อ x≠1 เท่านั้น อนุพันธ์ของรูปแบบที่ลดรูปนั้นจะมีข้อจำกัดเดียวกัน - จุดว่างบนกราฟไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการจัดรูปทางพีชคณิต
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ y=x²e^x, y′=2xe^x+x²e^x=e^x(x²+2x), ดังนั้น y′(1)=3e. สำหรับ z=(x²+1)/(x−1), x≠1, z′=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²; ที่ x=2 มีค่า −1. การหารพหุนามให้ z=x+1+2/(x−1), ดังนั้น z′=1−2/(x−1)², เป็นการตรวจสอบแบบอิสระ. สำหรับ w=(x²−1)/(x−1), x≠1, การตัดทอนให้ w=x+1 และ w′=1 เฉพาะบนโดเมนดั้งเดิมนั้นเท่านั้น จุดที่หายไป tại x=1 ไม่ถูกคืนค่า; การต่อต่อเนื่องของมันจะเป็นฟังก์ชันที่ต่างกัน
กฎผลคูณและผลหารโดยรักษาข้อจำกัดไว้
สำหรับฟังก์ชัน u, v ที่หาผลต่างได้ (uv)′=u′v+uv′
เลือกกฎอนุพันธ์และรักษาสัมประสิทธิ์ อัตราภายใน และข้อจำกัดอินพุตให้ครบถ้วน
สำหรับ x²e^x จงหาอนุพันธ์ที่ x=0
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e⁰(0²+2×0)=0.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การคูณ u′v′ ไม่ใช่ derivative of uv. การกลับด้านของเศษในกฎผลหารจะเปลี่ยนเครื่องหมายของมัน ตัวส่วนยกกำลังสองไม่กำจัดขั้วหรือรูเดิม การลดรูปก่อนหาอนุพันธ์อาจช่วยได้ แต่มันต้องรักษาการยกเว้นไว้ จุด stationary ของผลหารต้องอยู่ในโดเมนดั้งเดิมด้วย
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การตัดทอนพจน์ออกจากผลหารจะคืนค่าอินพุตที่ไม่ได้รับอนุญาตทั้งหมดโดยอัตโนมัติ ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับ z ที่แสดงวิธีทำ จงหา z′(2)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(4−4−1)/(2−1)²=−1.
การตัดตัวประกอบออกจากเศษส่วนจะคืนค่าอินพุตที่ถูกตัดออกทั้งหมดโดยอัตโนมัติ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การคูณ u′v′ ไม่ใช่ผลต่างของ uv การกลับเครื่องหมายเศษของเศษส่วนจะเปลี่ยนสัญญาณของมัน ตัวหารกำลังสองไม่ขจัดขั้วหรือรูเดิมได้ การลดรูปก่อนหาผลต่างอาจช่วยได้ แต่ต้องรักษาข้อจำกัดไว้ เช่นกัน จุดคงที่ของเศษส่วนต้องอยู่ในโดเมนดั้งเดิมด้วย
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ตั้งชื่อ u,v และเขียน u′,v′ ก่อนแทนค่า. รักษากาบ圍繞 around both quotient numerator terms จนกว่าการจัดรูปจะสมบูรณ์. Factoring a product derivative only after collecting both contributions. เปรียบเทียบรูปแบบที่ขยายออกหรือหารเมื่อมีอยู่ และแทนค่าลงในโดเมนดั้งเดิมก่อนประเมินหรือแก้ y′=0.
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับ w=(x²−1)/(x−1) จงหา w′(2)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การตัดทอนให้ x+1 เฉพาะเมื่อ x≠1; อนุพันธ์ที่ค่าป้อนเข้าที่อนุญาต 2 คือ 1
จับคู่กฎแต่ละข้อกับสูตรของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เศษของกฎผลหารต้องลบตามลำดับ u′v-uv′; หากสลับตำแหน่งจะเปลี่ยนเครื่องหมาย และส่วนที่เป็นกำลังสองของ v จะnever ขจัดข้อจำกัดเดิมของฟังก์ชันต้นฉบับ
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
กฎสำหรับการหาอนุพันธ์ของอัตราส่วนของฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงสองตัวเมื่อตัวส่วนไม่เป็นศูนย์. เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐานและตีความผลลัพธ์