กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันซ้อนกันและอินพุตที่มีข้อจำกัด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| composite derivative/ˈkɒmpəzɪt dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ฟังก์ชันประกอบ |
เซ็นเซอร์แปลงอินพุตที่เปลี่ยนแปลงผ่านสูตรหลายขั้นตอน เราจะรักษา every link ในอัตราการเปลี่ยนแปลงได้อย่างไร?
- เซ็นเซอร์แปลงอินพุตที่เปลี่ยนแปลงผ่านสูตรหลายขั้นตอน เราจะรักษา every link ในอัตราการเปลี่ยนแปลงได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ: อนุพันธ์ภายนอกที่ประเมินที่ output ของฟังก์ชันภายใน, คูณด้วย derivative of that inner input
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ y=f(u) และ u=g(x), dy/dx=f′(g(x))g′(x). ประเมิน derivative of the outer function ที่ expression ของฟังก์ชันจริง. สำหรับฟังก์ชันที่ซ้อนกันหลายชั้น, คูณ every inner-rate factor. ข้อจำกัดของโดเมนมาจากแต่ละขั้นตอน; Expression ที่หาอนุพันธ์แล้วไม่สามารถคืนค่า input ที่ห้ามไว้ในต้นฉบับได้
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
สำหรับ z=e^(x²) ทำไม z′(0)=0 แม้ว่าการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะไม่เป็นศูนย์เลย?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
z′=e^(x²)·2x ตัวประกอบด้านนอก e^(x²) มีค่าบวกเสมอ แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงด้านใน 2x เป็นศูนย์ที่ 0 ทำให้ผลคูณเป็นศูนย์ - นี่คือจุดราบเรียบบนเส้นโค้ง ไม่ใช่ความล้มเหลวของกฎ
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ y=(3x−1)^4, กำหนดให้ u=3x−1: y′=4u³×3=12(3x−1)³, ทำให้ y′(0)=−12 สำหรับ z=e^(x²), z′=e^(x²)×2x; z′(0)=0 แม้ว่าการหาอนุพันธ์ของเอ็กซ์โพเนนเชียลภายนอกจะไม่เคยเป็นศูนย์ สำหรับ w=ln(2x+1), x>−1/2, w′=2/(2x+1); w′(1)=2/3 สำหรับ r=sin((2x+1)²), ขั้นแรกกำหนดให้ u=(2x+1)²: r′=cos((2x+1)²)×2(2x+1)×2=4(2x+1)cos((2x+1)²) สำหรับ s=√(5−x²), โดเมนเดิมคือ −√5≤x≤√5, แต่ s′=−x/√(5−x²) จะมีค่าจำกัดเฉพาะในช่วงเปิดเท่านั้น
กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันซ้อนกันและอินพุตที่มีข้อจำกัด
สำหรับ y=f(u) และ u=g(x), dy/dx=f′(g(x))g′(x)
เลือกกฎอนุพันธ์และรักษาสัมประสิทธิ์ อัตราภายใน และข้อจำกัดอินพุตให้ครบถ้วน
สำหรับ (3x−1)^4, หาผลต่างที่ x=0
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4(−1)³×3=−12.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อย่าหยุดแค่การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลหรือกำลังภายนอก สำหรับ sin(u²), อินพุตของโคไซน์ยังคงเป็น u²; ไม่ได้ถูกแทนที่ด้วย 2u การขาดลิงก์หนึ่งในอนุพันธ์แบบซ้อน จะทำให้เสียปัจจัยไปหนึ่งตัว อนุพันธ์ภายในที่เป็นศูนย์สามารถทำให้ผลรวมเป็นศูนย์ได้ ดังนั้นการหารด้วยมันโดยไม่ตรวจสอบ อาจทำให้สูญเสียกรณีที่เป็นไปได้ รากที่สองอาจมีอยู่ที่จุดปลายโดยไม่มีอนุพันธ์ที่มีค่าจำกัดที่จุดนั้น
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
อนุพันธ์ของ e^(x²) คือ e^(x²) โดยไม่มีตัวคูณอัตราภายใน ข้ออ้างนี้ผิด อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับ e^(x²), หาผลต่างที่ x=0
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อัตราการภายในคือ 2x ซึ่งเป็นศูนย์ที่ศูนย์
ผลต่างของ e^(x²) คือ e^(x²) โดยไม่มีปัจจัยอัตราการภายใน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อย่าหยุดหลังจากหาผลต่างของเลขชี้กำลังหรือเอกซ์โพเนนเชียลภายนอกแล้ว สำหรับ sin(u²), ค่าเข้าของโคไซน์ยังคงเป็น u²; มันไม่ได้ถูกแทนที่ด้วย 2u การขาดลิงก์หนึ่งในผลต่างซ้อนจะทำให้สูญเสียปัจจัยหนึ่ง การหาผลต่างภายในเป็นศูนย์อาจทำให้ผลต่างรวมเป็นศูนย์ ดังนั้นการหารโดยไม่ตรวจสอบอาจทำให้สูญเสียกรณีที่เป็นไปได้ รากที่สองอาจมีอยู่ที่จุดปลายโดยไม่ต้องมีผลต่างที่จำกัดที่นั่น
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ทำงานจากภายนอกเข้าภายใน และบันทึกการเปลี่ยนแปลงของอินพุกแต่ละครั้ง คูณตัวคูณทั้งหมด แล้วลดรูป สำหรับพหุนามสั้น การกระจายพจน์ให้ผลลัพธ์เป็นอีกวิธีตรวจสอบอิสระ เก็บข้อจำกัดของลอการิทึม/รากทุกจุด และตีความว่าอัตราเป็นศูนย์เกิดจากฟังก์ชันด้านนอก อินพุกด้านใน หรือทั้งสองอย่าง
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับ ln(2x+1), หาผลต่างที่ x=1
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อัตราการภายในคือ 2; 2/(2×1+1)=2/3
จับคู่ฟังก์ชันประกอบแต่ละข้อกับอนุพันธ์ของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์ฟังก์ชันด้านนอก ที่ตำแหน่งของนิพจน์ด้านใน แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านใน; การซ้อนกฎลูกโซ่หลายชั้นจะคูณทุกองค์ประกอบ
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อนุพันธ์ด้านนอกที่ประเมินที่เอาต์พุตด้านใน คูณกับอนุพันธ์ของอินพุกด้านในนั้น เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์