อนุพันธ์ผกผันที่จุดที่สอดคล้องกัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| inverse derivative/ɪnˈvɜːs dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ฟังก์ชันกลับด้าน |
การปรับเทียบเปลี่ยนความยาวให้อ่านค่าได้ เราจะกลับอัตราในท้องถิ่น由其โดยไม่ใช้ส่วนกลับของเอาต์พุตได้อย่างไร?
- การปรับเทียบเปลี่ยนความยาวให้อ่านค่าได้ เราจะกลับอัตราในท้องถิ่นโดยไม่ใช้ส่วนกลับของเอาต์พุตได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์ผกผัน: อัตราของเอาต์พุตผกผันเทียบกับอินพุกของมัน ที่ประเมินที่จุดเดิมที่เกี่ยวข้อง
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- ให้ f เป็น one-to-one บนช่วงที่กำหนดและ g=f⁻¹. สมการเอกลักษณ์ f(g(v))=v ให้ f′(g(v))g′(v)=1. เมื่ออนุพันธ์.exists และ f′(g(v))≠0, g′(v)=1/f′(g(v)). ฟังก์ชันผกผันจะประเมินที่ผลลัพธ์เดิม v, ไม่ใช่ที่อินพุตเดิม x โดยอัตโนมัติ ค่าผกผัน 1/f(x) เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกัน
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
สำหรับ f(x)=x²+1 เมื่อ x≥0 ทำไม g′(10) จึงใช้ f′(3) แทนที่จะเป็น f′(10)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าผกผันที่ v=10 สอดคล้องกับอินพุตเดิม 3 ซึ่ง f′(3)=6 การนำ f′(v) มาใช้โดยตรงจะทำให้ได้ผลลัพธ์ 1/20 - ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดคลาสสิกในการเลือกจุดที่ไม่ถูกต้อง
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ f(x)=x²+1 บน x≥0, g(v)=√(v−1), v≥1. ที่ v=10, g(10)=3 และ f′(3)=6, ดังนั้น g′(10)=1/6. บน x≤0 branch ของฟังก์ชันผกผันคือ −√(v−1), dengan g(10)=−3 และ g′(10)=−1/6. สำหรับ f=e^x, g=ln v: f′(g(v))=e^(lnv)=v, ดังนั้น g′=1/v สำหรับ v>0. สำหรับ f=sin x บน −π/2≤x≤π/2, g=arcsin v. ภายใน −1<v<1, cos(g(v))=√(1−v²)>0, ดังนั้น g′=1/√(1−v²). ค่า cosine ที่เป็นบวกหรือไม่ลบมาจากการจำกัด branch ของ sin; ไม่ใช่การเลือกเครื่องหมายอย่างอิสระ
อนุพันธ์ผกผันที่จุดที่สอดคล้องกัน
ให้ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนช่วงที่กำหนดและ g=f⁻¹
ระบุตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมและตรวจสอบตัวส่วนของอนุพันธ์หรือสาขาท้องถิ่น
สำหรับสาขาพหุนามกำลังสองบวก ให้หา g′(10)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อินพุตบวกที่สอดคล้องกันคือ 3 และ f′(3)=6 ซึ่งให้ 1/6
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อย่าแทนที่ตัวส่วนที่จุดที่เกี่ยวข้อง f′(g(v)) ด้วย f′(v). คุณสมบัติแบบหนึ่งต่อหนึ่งเพียงอย่างเดียวไม่รับประกันความชันผกผันที่มีค่าจำกัด: x³ สามารถหาฟังก์ชันผกผันได้ แต่อนุพันธ์เป็นศูนย์ที่ศูนย์ และรูทคูปมีอนุพันธ์ที่ไม่มีค่าจำกัดที่นั่น จุดปลายของ/root/arcsine ผกผันก็อาจมีความชันที่ไม่มีค่าจำกัดเช่นกัน ветผกผันที่แตกต่างกันอาจให้เครื่องหมายที่ต่างกัน
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันคือ 1/f′(v) เสมอ, ประเมินที่อินพุกผกผัน v. ข้ออ้างนี้ผิด อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับ g(v)=ln v ให้หา g′(4)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์เอกซ์โพเนนเชียลที่ ln4 คือ 4 ดังนั้นอัตราการผกผันจึงเป็น 1/4
อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันจะเท่ากับ 1/f′(v) เสมอ โดยประเมินที่อินพุตผกผัน v
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ห้ามแทนที่ตัวส่วน f′(g(v)) ของจุดที่สอดคล้องกันด้วย f′(v) ความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเพียงอย่างเดียวไม่รับประกันความชันผกผันที่มีค่าจำกัด: x³ เป็นฟังก์ชันผกผันได้ แต่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์ที่ศูนย์ และรากสามไม่มีอนุพันธ์ที่มีค่าจำกัดที่จุดนั้น จุดปลายของรากหรือ arcsine ก็ขาดความชันที่มีค่าจำกัดได้เช่นกัน สาขาผกผันที่แตกต่างกันอาจให้เครื่องหมายต่างกัน
ตีความสถานการณ์ใหม่
- จำกัดโดเมนเดิม, หาคู่อินพุก/เอาต์พุตผกผัน, หาอนุพันธ์ของ f และประเมินที่อินพุกเดิมที่กู้คืนได้ จากนั้นจึงใช้ส่วนกลับก็ต่อเมื่อความชันที่มีค่า那不是ศูนย์ สลับหน่วยแนวนอนและแนวตั้งเพื่อหาอัตราผกผัน ตรวจสอบผลลัพธ์โดยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันที่ชัดเจนเมื่อมีอยู่
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับสาขาพหุนามกำลังสองลบ ให้หา g′(10)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อินพุตลบที่สอดคล้องกันคือ −3 และ f′(−3)=−6 ซึ่งให้ −1/6
จับคู่ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันให้ตรงกับคำอธิบาย
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สาขาที่ต่างกันให้เครื่องหมายที่แตกต่างกัน: บนช่วง x≤0 ค่า v=10 เดียวกันจะสอดคล้องกับ -3 และ g′(10)=-1/6
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อัตราของเอาต์พุตผกผันเทียบกับอินพุกของมัน ที่ประเมินที่จุดเดิมที่เกี่ยวข้อง เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์