อัตราการเชื่อมโยง ภูมิศาสตร์ และหน่วยเวลา
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| connected rates/kəˈnektɪd reɪts/ | อัตราการแปรผันสัมพันธ์ |
วัตถุทรงกลมเพิ่มปริมาตรด้วยอัตราคงที่รัศมีจะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่หรือไม่?
- วัตถุทรงกลมเพิ่มปริมาตรด้วยอัตราคงที่รัศมีจะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่หรือไม่?
- บทเรียนนี้ศึกษา อัตราการเชื่อมโยง: อัตราที่เชื่อมโยงกันผ่านความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนไปตามตัวแปรเวลาเดียวกัน
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- ถ้า y=f(x) และ x เปลี่ยนแปลงตามเวลา t, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt). หาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลง,maxLengthเทียบกับเวลา แล้วแทนค่าที่วัดได้ ณ วินาทีนั้น รักษาค่าตัวแปรเวลาและเครื่องหมายพร้อมหน่วยของแต่ละอัตราส่วนไว้ สำหรับทรงกลม V=(4/3)πr³ และ A=4πr², ดังนั้น dV/dt=4πr² dr/dt และ dA/dt=8πr dr/dt.
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไมต้องห้ามแทนค่ารัศมีเข้าไปใน V=(4/3)πr³ ก่อนทำอนุพันธ์เทียบกับเวลา?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความสัมพันธ์นี้ต้องทำอนุพันธ์ในขณะที่ r ยังเป็นฟังก์ชันของ t ทำอนุพันธ์ก่อน แล้วจึงแทนค่า ณ ช่วงเวลานั้น: เมื่อ r=3 และ dV/dt=18π จะได้ dr/dt=18π/(36π)=1/2 ซม./วินาที
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
ทรงกลมมีรัศมี 3 cm และมีปริมาตรเพิ่มขึ้นที่ 18π cm³/s อัตราการเปลี่ยนแปลงของรัศมีทันทีคือ 18π/(4π×9)=1/2 cm/s, และอัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่ผิวคือ 8π×3×(1/2)=12π cm²/s. นี่คืออัตราเฉพาะจุด; เมื่อ r grows, อัตราการเพิ่มปริมาตรเท่าเดิมจะให้ค่าอัตราการเปลี่ยนรัศมียิ่งน้อยลง ในภาควงกรวยที่มีรัศมีเต็มเป็นครึ่งหนึ่งของความสูงเต็ม ความคล้ายคลึงกันทำให้ r=h/2 ที่ระดับน้ำทุกระดับ ดังนั้น V=πh³/12 และ dV/dt=(πh²/4)dh/dt. ที่ h=4 cm และการไหลเข้า 8π cm³/s, dh/dt=2 cm/s. สำหรับบันไดคงที่ขนาด 5 m, x²+y²=25; ที่ (x,y)=(3,4) m พร้อม dx/dt=0.2 m/s, dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15 m/s: ด้านบนกำลังลดลง
อัตราการเชื่อมโยง ภูมิศาสตร์ และหน่วยเวลา
หาก y=f(x) และ x เปลี่ยนแปลงตามเวลา t, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)
ระบุตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมและตรวจสอบตัวส่วนของอนุพันธ์หรือสาขาท้องถิ่น
หาค่าอัตราการเปลี่ยนรัศมีทรงกลมที่คำนวณได้ในหน่วย cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
นำ 18π หารด้วย 4π×3² จะได้ 1/2
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อย่าแทนค่ารัศมีหรือความสูงปัจจุบันก่อนmaxLength: จะทำให้ความสัมพันธ์กลายเป็นค่าคงที่โดยผิดพลาด dV/dt ไม่ใช่ dV/dr. รัศมีของกรวยที่เปลี่ยนแปลงต้องปฏิบัติตามความสัมพันธ์ความคล้ายคลึงกัน ไม่ใช่คงที่อยู่ที่ค่าปัจจุบัน การแปลงอัตราการไหลต่อนาทีให้อยู่ในรูปต่อวินาที ก่อนนำไปใช้ร่วมกับข้อมูลที่เป็นวินาที อัตราลบหมายถึงการลดลง ไม่ใช่ความยาวลบ
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
แทนค่ารัศมีที่วัดได้ลงในสูตรปริมาตร ก่อนmaxLengthเทียบกับเวลา claim นี้เป็นเท็จ อธิบายว่าขัดกับนิยามหรือสมมติฐานใด
หาค่าอัตราการเปลี่ยนความสูงกรวยที่คำนวณได้ในหน่วย cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความคล้ายกันให้ dV/dh=πh²/4; เมื่อ h=4 นำ 8π หารด้วย 4π จะได้ 2
แทนค่ารัศมีที่วัดได้ลงในสูตรปริมาตร ก่อนที่จะหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อย่าแทนค่ารัศมีหรือความสูงปัจจุบันก่อนหาอนุพันธ์: จะทำให้ความสัมพันธ์กลายเป็นค่าคงที่โดยผิดพลาด dV/dt ไม่ใช่ dV/dr รัศมีกรวยที่เปลี่ยนแปลงต้องสอดคล้องกับความคล้ายคลึง ไม่ควรคงอยู่ที่ค่าปัจจุบัน การแปลงอัตราการไหลเข้าเป็นรายนาทีให้เป็นอัตราต่อวินาที ก่อนนำไปรวมกับข้อมูลที่เป็นวินาที อัตราติดลบหมายถึงการลดลง ไม่ใช่ความยาวที่มีค่าติดลบ
ตีความสถานการณ์ใหม่
- วาดเรขาคณิต ระบุค่าคงที่และระบุหน่วยเวลา/การวัดที่ใช้ได้ ขจัดตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงเกินหนึ่งตัวโดยใช้ความคล้ายคลึงหรือข้อจำกัด แล้วmaxLength ใช้ค่าสำหรับวินาทีเดียวกันและอธิบายทิศทางของผลลัพธ์ สมมติฐานทางกายภาพ เช่น ความยาวบันไดคงที่หรือทรงกลมจริง จำกัดโมเดล; อัตราอาจไม่คงที่หลังจากวินาทีนั้น
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาค่าอัตราการเคลื่อนที่ด้านบนของบันไดในหน่วย m/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์ข้อจำกัดบันไดคงที่: dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15.
จับคู่ขั้นตอนของอัตราที่เชื่อมโยงกันให้ตรงกับวัตถุประสงค์
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เครื่องหมายบ่งบอกทิศทาง - dy/dt ที่มีค่าลบหมายความว่าด้านบนของบันไดกำลังเคลื่อนที่ลง - และอัตราทุกตัวต้องอยู่ในหน่วยเวลาเดียวกันก่อนนำไปรวมกัน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อัตราที่เชื่อมโยงกันโดยความสัมพันธ์ของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงตามตัวแปรเวลาเดียวกัน เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐานและตีความผลลัพธ์