อนุพันธ์อันดับแรกแบบนัยยะและโดเมนของเส้นสัมผัส
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| implicit relation/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃn/ | ความสัมพันธ์แบบนัยยะ |
วงกลมมี ветвьบนและ ветвьล่าง เราจะหาความชันสัมผัสโดยไม่แก้หารากที่สองก่อนได้อย่างไร?
- วงกลมมี ветвьบนและ ветвьล่าง เราจะหาความชันสัมผัสโดยไม่แก้หாரากที่สองก่อนได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา ความสัมพันธ์แบบลับ: สมการที่เชื่อมโยง x และ y โดยไม่แยกตัวแปรหนึ่งออกเป็นฟังก์ชันชัดแจ้งของอีกตัวหนึ่ง
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- พิจารณา y เป็นฟังก์ชันท้องถิ่นที่ differentiate ได้ของ xmaxLengthความสัมพันธ์ทั้งหมดเทียบกับ x: ฟังก์ชันของ y จะนำعامل dy/dx มาโดยกฎลูกโซ่ รวมพจน์ที่มี dy/dx และแก้เมื่อสัมประสิทธิ์ไม่ใช่ศูนย์ หากความสัมพันธ์หลังmaxLengthเป็น A(x,y)+B(x,y)y′=0, แล้ว y′=−A/B โดยที่ B≠0; ความชันเป็นของ ветвьที่เลือก
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
สำหรับ x²+y²=25 ทำไมการหาอนุพันธ์ y² ถึงได้ 2y dy/dx แทนที่จะเป็น 2y?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหาอนุพันธ์แบบล่องหนมองว่า y เป็น y(x): d(y²)/dx=2y·y′ การละตัวคูณนี้จะทำให้สูญเสียตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่กำลังหาค่าอยู่ เมื่อจัดกลุ่มพจน์ที่มี y′ จะได้ y′=-x/y
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ x²+y²=25,maxLengthเพื่อ 2x+2y y′=0, ดังนั้น y′=−x/y สำหรับ y≠0. ที่ (3,4), ความชันสัมผัสคือ −3/4 และ y−4=−(3/4)(x−3); ความชันปกติคือ 4/3. ที่ (5,0) สัมผัสเป็นแนวตั้ง x=5, และไม่มี dy/dx ที่มีค่าจำกัด สำหรับ x²+xy+y²=7,maxLengthผลคูณ xy เพื่อ y+x y′. จากนั้น 2x+y+(x+2y)y′=0, ดังนั้น y′=−(2x+y)/(x+2y). ที่ (1,2), ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์, ความชันคือ −4/5. สำหรับ e^y+x=3, e^y y′+1=0, ให้ y′=−e^(−y); ที่ (2,0) ความชันคือ −1.
อนุพันธ์อันดับแรกแบบนัยยะและโดเมนของเส้นสัมผัส
พิจารณา y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ x ในท้องถิ่น
ระบุตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมและตรวจสอบตัวส่วนของอนุพันธ์หรือสาขาท้องถิ่น
สำหรับวงกลมที่จุด (3,4) จงหา dy/dx
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ของวงกลมคือ −x/y; ที่จุด (3,4) ค่าที่ได้คือ −3/4
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การหาอนุพันธ์ของ y² จะได้ 2y y′ ไม่ใช่ 2y หรือ 2(y′)². ผลคูณ xy ต้องใช้ทั้ง y และ x y′ ตรวจสอบว่าจุดที่กำหนดให้อยู่บนความสัมพันธ์เดิมก่อนกำหนดสมการเส้นสัมผัส หากตัวส่วนเป็นศูนย์อาจบ่งบอกถึงเส้นสัมผัสแนวตั้งหรือจุดเอกฐาน แต่การใช้เศษส่วนเพียงอย่างเดียวไม่สามารถจำแนกรูปแบบได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น x²+y²=0 มีจุดจริงที่แยกกันเพียงจุดเดียว ไม่ใช่วงกลมเรียบที่มีเส้นสัมผัส
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
maxLengthy²เทียบกับ x จะได้ 2y โดยไม่มีعامل dy/dx claim นี้เป็นเท็จ อธิบายว่าขัดกับนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับสมการ x²+xy+y²=7 ที่จุด (1,2) จงหา dy/dx
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จัดรูปได้ (x+2y)y′=−(2x+y); จุดนี้ให้ −4/5
การหาอนุพันธ์ของ y² เทียบกับ x จะได้ 2y โดยไม่มีตัวคูณ dy/dx
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหาอนุพันธ์ของ y² จะได้ 2y y′ ไม่ใช่ 2y หรือ 2(y′)² พจน์ xy ต้องใช้ทั้ง y และ x y′ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าจุดที่กำหนดให้อยู่บนความสัมพันธ์เดิมก่อนจะหาเส้นสัมผัส ส่วนที่เป็นศูนย์ในส่วนอาจบ่งบอกถึงเส้นสัมผัสแนวตั้งหรือจุดเอกฐาน; ตัวเศษส่วนเพียงอย่างเดียวไม่สามารถจำแนกทุกกรณีได้ ตัวอย่างเช่น x²+y²=0 มีเพียงจุดจริงที่แยกเดี่ยวเดียวหนึ่งจุดเท่านั้น ไม่ใช่วงกลมที่เรียบลื่นที่มีเส้นสัมผัส
ตีความสถานการณ์ใหม่
- หาอนุพันธ์ทุกพจน์ รักษาค่าสัมประสิทธิ์ของกฎลูกโซ่/ผลคูณไว้ทั้งหมด จัดกลุ่มพจน์ที่มี y′ แล้วระบุเงื่อนไขตัวส่วนที่ได้จากผลนั้น แทนค่าที่จุดเดิมและใช้รูปแบบจุด-ความชันเพื่อหาสมการเส้นสัมผัส เส้นสัมผัสแนวนอนมีความชันจำกัดเป็นศูนย์และเส้นปกติแนวตั้ง ส่วนเส้นสัมผัสแนวตั้งต้องใช้สมการเส้นตรงเฉพาะตัว บทเรียนนี้ใช้อันติพันธ์อันดับหนึ่งเท่านั้น ซึ่งสอดคล้องกับ G5
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับสมการ e^y+x=3 ที่จุด (2,0) จงหา dy/dx
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จากสมการ e^y y′=−1; เมื่อแทนค่า y=0 จะได้ −1
จับคู่กรณีของการหาอนุพันธ์แบบล่องหนแต่ละข้อกับผลลัพธ์ที่ได้รับ
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตรวจสอบให้แน่ใจว่าจุดนั้นอยู่บนความสัมพันธ์ก่อน; ส่วนที่เป็นศูนย์บ่งบอกถึงเส้นสัมผัสแนวตั้งหรือจุดเอกฐาน ไม่ใช่ความชันที่มีค่าจำกัด
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
สมการที่เชื่อมโยง x และ y โดยไม่แยกตัวแปรหนึ่งออกเป็นฟังก์ชันชัดแจ้งของอีกตัวหนึ่ง เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐานและตีความผลลัพธ์