Parametric first derivatives and vertical tangents
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| parametric gradient/ˌpærəˈmetrɪk ˈɡreɪdɪənt/ | ความชันพารามิเตอร์ |
พิกัดสองตัวขึ้นอยู่กับสไลเดอร์เดียวกัน อัตราการเปลี่ยนแปลงแยก各自的将它们รวมเป็นความชันของเส้นโค้งได้อย่างไร?
- พิกัดสองจุดขึ้นอยู่กับสไลเดอร์เดียวกัน ความเร็วของแต่ละพิกัดรวมกันเป็นความชันของเส้นโค้งได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา ความชันแบบพารามิเตอร์: อัตราส่วนระหว่างอัตราความเร็วของ y ต่ออัตราความเร็วของ x ตามเส้นโค้งที่มีพารามิเตอร์ เมื่ออัตราความเร็วของ x ไม่เป็นศูนย์
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ x=x(t), y=y(t) กฎลูกโซ่ให้ dy/dt=(dy/dx)(dx/dt) ดังนั้น dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) เมื่อ dx/dt≠0. หาอนุพันธ์ของแต่ละพิกัดแยกจากกัน แล้วหารตามลำดับ y/over-x จุดหนึ่งได้มาจากค่าพารามิเตอร์เดียวกัน ค่าพารามิเตอร์ไม่จำเป็นต้องแทนเวลาทางกายภาพ
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
For x=t²+1, y=t³-3t at t=2, why is dy/dx=9/4?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The y-rate divides by the x-rate - never the reverse. Both derivatives come from the same parameter value, and the point (5,2) also comes from t=2.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ x=t²+1, y=t³−3t, dx/dt=2t และ dy/dt=3t²−3. ที่ t=2 จุดคือ (5,2) และความชันคือ 9/4, ดังนั้นเส้นสัมผัสคือ y−2=(9/4)(x−5). ที่ t=1, จุด (2,−2) มีเส้นสัมผัสแนวนอน y=−2 เพราะ dy/dt=0 ในขณะที่ dx/dt=2. ที่ t=0, (1,0) มีเส้นสัมผัสแนวตั้ง x=1: dx/dt=0 แต่ dy/dt=−3≠0. พารามิเตอร์แบบปกติท้องถิ่นจะเปลี่ยน y ในขณะที่ x มีการเปลี่ยนแปลงทันทีเป็นศูนย์. สำหรับ x=2cos t,y=3sin t, ที่ t=π/4 จุดคือ (√2,3√2/2) และความชันคือ −3/2. ที่ t=0 เส้นสัมผัสวงรีเป็นแนวตั้ง, x=2.
Parametric first derivatives and vertical tangents
For x=x(t), y=y(t), the chain rule gives dy/dt=(dy/dx)(dx/dt), so dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) when dx/dt≠0
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
For the cubic parametrisation at t=2, find dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At t=2, dy/dt=9 and dx/dt=4, so the ratio is 9/4.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อัตราส่วนนี้คือ dy/dt หารด้วย dx/dt ไม่ใช่ค่ากลับด้าน. หากอัตราความเร็วทั้งสองเป็นศูนย์, 0/0 จะสรุปไม่ได้: x=t³,y=t³ ยังคงวาดเส้น y=x ด้วยความชัน 1 ผ่านจุดกำเนิด. หาก dx/dt=0 เพียงอย่างเดียว ให้ตรวจสอบเส้นโค้งในท้องถิ่นแทนการรายงานค่าความชันเชิงตัวเลขที่จำกัด. ค่า x ซ้ำซ้อนอาจสอดคล้องกับค่า y หรือสาขาที่แตกต่างกัน; รักษาค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดไว้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
เมื่ออัตราความเร็วของพิกัดแบบพารามิเตอร์ทั้งสองเป็นศูนย์ เส้นโค้งต้องไม่มีเส้นสัมผัส ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
For the same curve at t=1, find dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At t=1, the numerator is zero and denominator is 2, giving zero.
When both parametric coordinate rates are zero, the curve must have no tangent.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The ratio is dy/dt divided by dx/dt, not its reciprocal. If both rates vanish, 0/0 is inconclusive: x=t³,y=t³ still traces y=x with slope 1 through zero. If dx/dt=0 alone, inspect the local curve rather than report a finite numerical gradient. Repeated x values can correspond to different y values or branches; keep the stated parameter value.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- หาคู่พิกัด คำนวณอัตราความเร็วอันดับหนึ่งทั้งสอง แล้วทดสอบว่าอัตราส่วนนั้นใช้ได้หรือไม่. ระบุเส้นสัมผัสแนวนอน/แนวตั้งแยกหากเหมาะสม และรักษาช่วงพารามิเตอร์. ตรวจสอบโดยการกำจัดพารามิเตอร์เมื่อให้ความสัมพันธ์ในท้องถิ่นที่ง่าย G5 ต้องการเพียงอนุพันธ์อันดับแรก; อนุพันธ์แบบพารามิเตอร์อันดับสองอยู่นอกขอบเขตบทเรียนนี้
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
For the ellipse at t=π/4, find dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3cos t)/(−2sin t) at π/4 is −3/2.
Match each parametric situation to its interpretation.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A zero x-rate alone forbids the quotient but not the tangent; x=t³,y=t³ shows both rates zero yet the curve has slope 1.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อัตราส่วนระหว่างอัตราความเร็วของ y ต่ออัตราความเร็วของ x ตามเส้นโค้งที่มีพารามิเตอร์ เมื่ออัตราความเร็วของ x ไม่เป็นศูนย์. เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์