สมการเส้นสัมผัสและเส้นปกติกับเงื่อนไขความชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| normal line/ˈnɔːml laɪn/ | เส้นตั้งฉาก |
เส้นสัมผัสของถนนบอกทิศทางในท้องถิ่น; ถนนตัดขวาง.follows the normal. ทำไมทั้งสองเส้นต้องใช้จุดบนเส้นโค้งเดียวกัน?
- เส้นสัมผัสของถนนบอกทิศทางในท้องถิ่น; ถนนตัดขวาง follow the normal. ทำไมทั้งสองเส้นต้องใช้จุดบนเส้นโค้งเดียวกัน?
- บทเรียนนี้ศึกษา เส้นปกติ: เส้นที่ผ่านจุดบนเส้นโค้งและตั้งฉากกับเส้นสัมผัสในท้องถิ่น
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- ที่จุดที่หาอนุพันธ์ได้ (a,f(a)), ความชันของเส้นสัมผัสคือ m=f′(a) และสมการคือ y−f(a)=m(x−a). สำหรับ m ที่มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์, ความชันของเส้นปกติคือ −1/m. หาจุดที่ตรงตามเงื่อนไขความชันที่กำหนดโดยแก้หาค่า f′(x) แล้วประเมินค่า f เดิม. เส้นขนานมีความชันเท่ากัน; ความชันที่ตั้งฉากกันที่มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์คูณกันได้ −1.
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ที่ x=1 บน f=x³-3x เส้นสัมผัสเป็นแนวนอน ความชันของเส้นฉากคืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นฉากตั้งฉากกับเส้นสัมผัส; เส้นสัมผัสแนวนอน (m=0) บังคับให้เส้นฉากเป็นแนวตั้ง เขียนในรูป x=1. สูตร -1/m ใช้ได้เฉพาะเมื่อ m มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์เท่านั้น
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ f=x³−3x ที่ x=2, f(2)=2 และ f′(2)=9. เส้นสัมผัสคือ y−2=9(x−2), หรือ y=9x−16. เส้นฉากคือ y−2=−(1/9)(x−2). เส้นสัมผัสที่ขนานกับ y=9x+4 จะสอดคล้องกับ 3x²−3=9, ซึ่งให้ x=±2: จุด (2,2) และ (−2,−2). เส้นสัมผัสอีกเส้นคือ y+2=9(x+2). ที่ x=1 เส้นสัมผัสเป็นแนวนอน y=−2 และเส้นฉากเป็นแนวตั้ง x=1; ไม่มีค่าผกผันลบที่มีจำกัดของศูนย์ สำหรับวงกลมที่จุด (5,0), เส้นสัมผัสเป็นแนวตั้ง x=5 และเส้นฉากเป็นแนวนอน y=0. เสนคที่ผ่าน (−2,−2) และ (2,2) มีความชัน 1, ไม่เหมือนความชันของเส้นสัมผัสในท้องถิ่นใดอย่างใด 9.
สมการเส้นสัมผัสและเส้นปกติกับเงื่อนไขความชัน
ที่จุดที่หาอนุพันธ์ได้ (a,f(a)) ความชันของเส้นสัมผัสคือ m=f′(a) และสมการคือ y−f(a)=m(x−a)
เชื่อมโยงการคำนวณอนุพันธ์เข้ากับจุดเดิมโดเมน และกฎอัตราที่ระบุ
สำหรับ f=x³−3x, จงหาความชันของเส้นสัมผัสที่ x=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f′=3x²−3, ซึ่งให้ค่า 9 ที่ x=2.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่พิกัด y. ใช้เส้นโค้งเดิมเพื่อหาจุด. ค่าผกผันของเส้นปกติมีเครื่องหมายลบและไม่ใช้ได้ในกรณีเส้นสัมผัสแนวนอน; ให้เส้นแนวตั้งแทน. เส้นสัมผัสสามารถตัดกับเส้นโค้งอีกครั้งที่อื่น. ตัดของเส้นที่กำหนดไม่ให้ผลต่อเงื่อนไขความชันขนาน แต่ทั้งเส้นสัมผัสและเส้นปกติต้องผ่านจุดบนเส้นโค้งที่กำหนด
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
เส้นปกติของเส้นสัมผัสแนวนอนมีความชัน有限的เป็นศูนย์. ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
หาความชันของเส้นตั้งฉากที่จุดนั้น
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สำหรับความชันของเส้นสัมผัส 9 ที่ไม่เท่ากับศูนย์และมีค่าจำกัด ความชันของเส้นตั้งฉากคือ −1/9
เส้นตั้งฉากของเส้นสัมผัสแนวนอนมีความชันเป็นศูนย์ที่มีค่าจำกัด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ให้ค่าความชัน ไม่ใช่พิกัด y ให้ใช้เส้นโค้งเดิมเพื่อหาค่าจุด เส้นตั้งฉากที่เป็นค่าผกผันจะมีเครื่องหมายลบและไม่สามารถกำหนดได้สำหรับเส้นสัมผัสแนวนอน ให้ระบุเส้นตรงแนวตั้งแทน เส้นสัมผัสอาจตัดกับเส้นโค้งอีกครั้งที่ตำแหน่งอื่น ส่วนตัดแกนของเส้นตรงที่กำหนดไม่ได้มีผลต่อเงื่อนไขความชันขนาน แต่ทั้งเส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉากต้องผ่านจุดบนเส้นโค้งที่กำหนดให้
ตีความสถานการณ์ใหม่
- หาคู่พิกัดและความชันแยกจากกัน แล้วใช้รูปแบบจุด-ความชัน. หากเงื่อนไขความชันให้ค่าเข้าหลายค่า ระบุทุกจุดและเส้นที่อนุญาต. ระบุกรณีแนวนอน/แนวตั้งโดยไม่สร้างค่าความชันเชิงตัวเลขอนันต์. ตรวจสอบว่าเส้นผ่านจุดและคู่ความชัน tangent/normal ที่มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์คูณกันได้ −1.
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
เส้นสัมผัสของ f มีจำนวนเท่าใดที่ขนานกับ y=9x+4?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x²−3=9 มีค่าเข้าได้สองค่าคือ ±2
จับคู่แต่ละเส้นที่จุด (a,f(a)) กับสมการหรือความชันของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ให้ความชัน และ CURVE เดิมให้ความสัมพันธ์กับจุด; ทั้งสองต้องคำนวณแยกกันที่ค่า x เดียวกัน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
เส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนcurve และตั้งฉากกับเส้นสัมผัสในท้องถิ่น เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์