Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| feasible domain/ˈfiːzɪbl dəˈmeɪn/ | โดเมนที่เป็นไปได้ |
การตัดสี่เหลี่ยมมุมใหญ่ขึ้นทำให้กล่องสูงขึ้นแต่ฐานเล็กลง การตัดแบบไหนให้ปริมาตรที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด?
- การตัดสี่เหลี่ยมมุมใหญ่ขึ้นทำให้กล่องสูงขึ้นแต่ฐานเล็กลง การตัดแบบไหนให้ปริมาตรที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด?
- บทเรียนนี้ศึกษา โดเมนที่เป็นไปได้: ค่าอินพุตที่อนุญาตหลังจากนำข้อจำกัดทางกายภาพหรือคณิตศาสตร์ดั้งเดิมไปใช้แล้ว
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- เขียนปริมาณที่ต้องการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดในตัวแปรเดียว พร้อมโดเมนที่เป็นไปได้ แก้ไขเงื่อนไขอนุพันธ์เป็นศูนย์เพื่อหาคำตอบภายใน ทิ้งรากที่ไม่ถูกต้อง และจัดประเภทโดยใช้เครื่องหมายของอนุพันธ์หรืออนุพันธ์อันดับสองที่ไม่เป็นศูนย์ การหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดทั่วโลกยังต้องการค่าขอบเขตหรือพฤติกรรมลิมิต; การจัดประเภทเฉพาะที่เพียงอย่างเดียวไม่สามารถตัดสินคำถามเกี่ยวกับโดเมนที่จำกัดได้
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
For the open box, V′=0 gives x≈2.43 and x≈8.24. Why is 8.24 rejected outright?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary point outside the feasible domain is not a candidate. Global claims also need the boundaries: V→0 at both open ends, so the interior maximum at 2.43 is global.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
从一张 20 cm × 12 cm 的纸板上切去边长为 x cm 的正方形，折叠成一个无盖盒子。其尺寸为 x, 20−2x, 12−2x，因此 V=240x−64x²+4x³，且 0<x<6。V′=240−128x+12x² 的根为 x=(16±2√19)/3。较小的根 α≈2.4274 位于定义域内；较大的根 ≈8.2393 会使短边变为负值，故舍去。V′ 在 (0,α) 上为正，在 (α,6) 上为负，且 V 在两端均趋于零。因此 α 给出全局最大值。另一矩形周长为 24 cm，两边为 x, 12−x，面积 A=12x−x²，且 0<x<12；其最大值为 36 cm²，此时 x=6。对于 f=(x−1)² 在 [0,3] 上，内部驻点为最小值 0，但全局最大值为端点值 f(3)=4。
Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
Express the quantity to optimise in one variable, with its feasible domain
Connect derivative calculations to their original point, domain and stated rate law.
For the 24 cm perimeter rectangle, find the optimum x in cm.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A′=12−2x=0 gives x=6 in the domain.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- รากคงที่ภายนอกโดเมนที่เป็นไปได้ไม่ใช่การออกแบบทางเลือก การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองให้การจัดประเภทเฉพาะที่ ไม่ใช่การเปรียบเทียบทั่วโลกทั้งหมด จุดปลายที่เปิดเป็นค่าลิมิต ไม่ใช่การออกแบบที่ยอมรับได้ สำหรับช่วงปิด ให้ตรวจสอบค่าที่จุดปลายโดยตรง หากมิติต้องใช้ขั้นก้าวแบบไม่ต่อเนื่องที่ระบุไว้ ให้เปรียบเทียบตัวเลือกที่ยอมรับได้ใกล้เคียงแทนที่จะรายงานค่าสูงสุดที่ต่อเนื่องซึ่งไม่สามารถบรรลุได้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ทุกคำตอบของ V′=0 คือค่าสูงสุดทั่วโลกที่มีประสิทธิภาพของปริมาตรกล่อง ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อใดหรือสมมติฐานใดที่ขัดแย้ง
Find its maximum area in cm².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(6)=6×6=36; the derivative changes + to −.
Every solution of V′=0 is a feasible global maximum of the box volume.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary root outside the feasible domain is not an alternative design. A second-derivative test gives a local classification, not every global comparison. Open endpoints are limiting values, not permitted designs. For a closed interval check actual endpoint values. If dimensions must use a specified discrete step, compare the neighbouring allowed choices rather than reporting an unattainable continuous optimum.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- เขียนหน่วยและข้อจำกัดก่อนการคำนวณเชิงอนุพันธ์ รักษารากที่แม่นยำผ่านการจัดประเภท และให้มิติสุดท้ายหรือปริมาณที่ขอแทนที่จะให้เพียงค่าอินพุต ระบุการประมาณอย่างเช่น ความหนาของวัสดุที่abaikanและการพับที่แม่นยำ หากโมเดลมีการตัดแบบไม่ต่อเนื่องหรือความคลาดเคลื่อนในการวัด อธิบายว่าการเลือกที่มีประสิทธิภาพสุดท้ายและการเปรียบเทียบจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find the maximum of (x−1)² on [0,3].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Compare the stationary value 0 with endpoint values 1 and 4; the maximum is 4.
Match each optimisation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A second-derivative test classifies locally only; restricted-domain optimisation is finished by comparing boundaries.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ค่าอินพุตที่อนุญาตหลังจากนำข้อจำกัดทางกายภาพหรือคณิตศาสตร์ดั้งเดิมไปใช้แล้ว เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์