สร้างสมการเชิงอนุพันธ์จากกฎอัตราการเปลี่ยนแปลง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | สมการเชิงอนุพันธ์ |
ประชากรเพิ่มตามสัดส่วนกับขนาดปัจจุบันของตน ในขณะเดียวกันมีจำนวนคงที่ออกทุกวัน ส่วนใดควรอยู่ในสมการอัตรา?
- ประชากรเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนกับขนาดปัจจุบัน ในขณะที่มีจำนวนคงที่ออกจากประชากรในแต่ละวัน ส่วนใดควรอยู่ในสมการอัตราการเปลี่ยนแปลง?
- บทเรียนนี้ศึกษา สมการเชิงอนุพันธ์: ความสัมพันธ์ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าและหนึ่งหรือมากกว่าของอนุพันธ์ของมัน
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- เลือกตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม และแปลงกฎอัตราที่ระบุให้เป็นอนุพันธ์ สัดส่วนต่อ y คือ ky; สัดส่วนต่อ y² คือ ky² การไหลเข้าคงที่ลบด้วยการสูญเสียที่แปรผันตามให้ dy/dt=a−ky; อัตราที่แปรผันตามความแตกต่างจากเป้าหมาย A ให้ dy/dt=k(A−y) เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดค่าฟังก์ชัน ไม่ใช่สูตรอนุพันธ์ ค่าคงที่ต้องมีหน่วย使得ทั้งสองข้างเป็นประเภทของอัตราเดียวกัน
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไม "อัตราการเปลี่ยนแปลงแปรผันตามปริมาณปัจจุบัน" จึงเขียนเป็น dy/dt=ky แทนที่จะเป็น dy/dt=k?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราแปรผันทำให้เกิดพฤติกรรมเอกซ์โพเนนเชียล ไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์คงที่ dy/dt=k จะเพิ่มจำนวนคงที่ต่อหน่วยเวลาโดยไม่ขึ้นอยู่กับ y ซึ่งเป็นโมเดลเชิงเส้นที่ตอบคำถามในบริบทอื่น
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับประชากรตัวอย่าง P, t เป็นวัน การเกิดเกิดขึ้นที่ 0.04P ต่อวัน และมี 10 คนออกแต่ละวัน โมเดลคือ dP/dt=0.04P−10, P(0)=500. ในตอนแรกอัตราคือ 10 คน/วัน; P=250 เป็นจุดสมดุล และต่ำกว่านั้นสมการเดียวกันจะทำนายการลดลง โมเดลต้องหยุดหรือปรับปรุงหากทำนายประชากรเป็นลบ สำหรับความเร็ว v ใน m/s โดย t เป็นวินาที ความเร่ง 6−0.2v ให้ dv/dt=6−0.2v, v(0)=0: ความเร่งเริ่มต้นคือ 6 m/s² และความเร็วสมดุล 30 m/s. ในโมเดลความต้องการสมมติ ปริมาณ Q ลดลงที่อัตราราคาแปรผันตาม Q ที่ราคา p=12, Q=200 และ dQ/dp=−10, ดังนั้น dQ/dp=−0.05Q กับ Q(12)=200; ตัวแปรอิสระคือราคา ไม่ใช่เวลา. ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ความชัน 2xy กับ y(1)=3 ให้ dy/dx=2xy และความชันเริ่มต้น 6.
สร้างสมการเชิงอนุพันธ์จากกฎอัตราการเปลี่ยนแปลง
เลือกตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม และแปลงกฎอัตราส่วนที่ระบุให้เป็นรูปอนุพันธ์
เชื่อมโยงการคำนวณอนุพันธ์เข้ากับจุดเดิมโดเมน และกฎอัตราที่ระบุ
หาค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงประชากรเริ่มต้นในหน่วย Individuals/day
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
0.04×500−10=10.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อัตราสัดส่วนไม่เท่ากับการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์คงที่ การออกแบบคงที่ต้องใช้พจน์ลบ ไม่ใช่ตัวคูณที่สองของ P อย่าแทนที่ P ที่เปลี่ยนไปด้วยค่าเริ่มต้นตลอดทั้งสมการ จุดสมดุลแก้เงื่อนไขอัตราเท่ากับศูนย์; ไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าเริ่มต้นหรือถูกเข้าถึงจากทุกจุดเริ่มต้น อนุพันธ์ราคาและอนุพันธ์เวลาเป็นปริมาณต่างกันที่มีหน่วยต่างกัน
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ประโยคที่ระบุว่าอัตราส่วนแปรผันตรงกับปริมาณปัจจุบันหมายความว่ามีการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์เท่าเดิมตลอดเวลา ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อกล่าวอ้างนี้ขัดแย้งกับนิยามหรือสมมติฐานใด
หาค่าความเร่งเริ่มต้นในหน่วย m/s²
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
6−0.2×0=6.
ข้อความที่ระบุว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงแปรผันกับปริมาณปัจจุบัน หมายความว่ามีการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์เท่าเดิมตลอดเวลา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราส่วนแปรผันไม่เท่ากับผลเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ที่คงที่ การมีจุดออกตัวตายต้องอาศัยพจน์ลบ ไม่ใช่ตัวคูณ P ตัวที่สอง อย่าแทนที่ P ที่เปลี่ยนแปลงด้วยค่าเริ่มต้นตลอดทั้งสมการ จุดสมดุลแก้เงื่อนไขอัตราส่วนเป็นศูนย์ได้ โดยไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าเริ่มต้นหรือถูกเข้าใกล้จากทุกจุดเริ่มต้น อนุพันธ์ของราคาและอนุพันธ์ของเวลาเป็นปริมาณที่แตกต่างกันและมีหน่วยต่างกัน
ตีความสถานการณ์ใหม่
- นิยามตัวแปรแต่ละตัว แปลงทุกพจน์การไหลเข้า/ออก หรือพจน์แปรผันพร้อมเครื่องหมาย ระบุสมมติฐานค่าคงที่ และแยกเงื่อนไขเริ่มต้นออกมาประเมินอัตราการเริ่มต้นเพื่อตรวจสอบ และหาจุดสมดุลก่อนตีความโมเดล สิ่งเหล่านี้เป็นการสร้างแบบจำลองเพื่อเป็นตัวอย่าง ไม่ใช่รายการบริบทที่จำเป็น: ตัวอย่าง G6 เป็นทางเลือก การแก้สมการที่ได้เป็นงานอินทิเกรตที่แยกต่างหาก
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาค่าสัมประสิทธิ์แปรผันบวกในโมเดลความต้องการ
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จาก −10=−k×200, k=10/200=0.05
จับคู่กฎอัตราแต่ละข้อกับสมการดิฟเฟอเรนเชียลที่สอดคล้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าคงที่มีหน่วยที่ทำให้ทั้งสองข้างเป็นอัตราเดียวกัน; เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดค่าหนึ่ง แต่ไม่กำหนดสูตรอนุพันธ์
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ความสัมพันธ์ที่มีฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นอย่างน้อยหนึ่งตัว เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์