F · Exponentials and logarithms

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน F (เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้ก่อนหน้า: กฎเลขชี้กำลังและเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์จาก GCSE

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• ตัวอย่างหนึ่งลดลงครึ่งหนึ่งทุก 3.5 ชั่วโมง แต่ห้องปฏิบัติการต้องการระดับที่ 5 ชั่วโมง — ไม่มีตารางใดให้ค่านี้ วิธีใดที่สูตรเดียวสามารถแทนที่ตารางที่หายไปได้?
• ก่อนอ่านต่อ ให้บอกว่าโมเดล y = Ae^(kt) ต้องการอินพุตอะไร และกราฟ log สามารถคืนค่า k จากข้อมูลได้อย่างไร

วิธีทำ

• ในสมการ y = Ae^(kt), A คือปริมาณเริ่มต้น และ k คืออัตราการเปลี่ยนแปลง: ค่าบวกสำหรับการเติบโต, ค่าลบสำหรับการสลายตัว. ครึ่งอายุ คือ ln 2/|k|; เวลาในการเพิ่มเป็นสองเท่าคือ ln 2/k.
• ลอการิทึม เป็นฟังก์ชันผกผันของเอ็กซ์โพเนนเชียล: y = a^x หมายความว่า x = log_a y, นิยามได้เฉพาะเมื่อ y เป็นค่าบวก กฎลอการิทึมมีมาจากกฎเลขชี้กำลัง: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. การแก้สมการ a^x = b ได้ x = ln b / ln a. การพล็อตกราฟ ln y เทียบกับ t จะแปลง y = Ae^(kt) ให้เป็นเส้นตรง ln y = ln A + kt.
• ครึ่งอายุ: ช่วงเวลาที่ปริมาณที่สลายตัวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น; ลอการิทึม: เลขชี้กำลังที่ต้องยกฐานที่กำหนดให้เพื่อสร้างจำนวนบวกที่มีค่ากำหนด

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• แบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ได้จากการปรับข้อมูล (fitted exponential) ต้องตรวจสอบหน่วยเวลาและช่วงข้อมูลที่ระบุก่อนการทำนาย และเปรียบเทียบค่าทำนายกับการวัดใหม่ (ความคลาดเคลื่อนหรือ residual) ก่อนที่จะเชื่อถือได้ ค่า k ที่เป็นลบหมายถึงการสลายตัว; ปริมาณเริ่มต้นที่เป็นลบมักขัดแย้งกับบริบทของปัญหา
• ในสมการลอการิทึม ให้จดจำโดเมนเดิมไว้ก่อนเสมอ: ตัวประกอบของลอการิทึมทุกตัวต้องเป็นค่าบวก ดังนั้นคำตอบที่ได้หลังจากรวมลอการิทึมเข้าด้วยกันต้องถูกตรวจสอบกับโดเมนเดิมอีกครั้ง

กรณีฝึกทำ

• ข้อมูลที่ทราบ: y = 80e^(−0.2t), y เป็นกรัม, t เป็นชั่วโมง. กึ่งหนึ่งของปริมาณหมายความว่า 40 = 80e^(−0.2t), ดังนั้น e^(−0.2t) = 1/2.taking ln: −0.2t = −ln 2, ดังนั้น t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 ชั่วโมง. ค่า k เดียวกันนี้ให้ครึ่งอายุสำหรับปริมาณเริ่มต้นใดๆ

ตัวอย่าง:

แก้ 3^x = 20 โดยใช้ลำดับขั้นตอนเดียวกัน: ดึงลอการิทึม → ใช้กฎเลขชี้กำลัง → หาร → ตีความ. (คำตอบ: x ln 3 = ln 20, ดังนั้น x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. ตรวจสอบ: 3^2.727 ≈ 20.)

ขอบเขตกับกับดัก

• กฎลอการิทึมใช้ได้เฉพาะกับตัวประกอบที่เป็นค่าบวกเท่านั้น; ln(x + y) ไม่มีกฎผลบวก (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). แบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียลต้องการให้หน่วยเวลาตรงกับ k; อัตราต่อปีที่มีประสิทธิภาพที่ 10% หมายความว่า k = ln 1.1, ไม่ใช่ k = 0.1.

เตือน:

สำหรับ x และ y ที่เป็นค่าบวก, ln(x + y) = ln x + ln y. ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง: กฎผลคูณคือ ln(xy) = ln x + ln y; ไม่มีกฎสำหรับผลบวกภายในลอการิทึม, ตามที่ x = y = 1 แสดงให้เห็น (ln 2 ≈ 0.69 แต่ ln 1 + ln 1 = 0).

จุดสำคัญ:

Exponentials and logarithms: y = Ae^(kt) with half-life ln 2/|k|; logs invert exponentials, follow the product/quotient/power laws, and turn an exponential fit into a straight line. Check domains and units before solving.