Exponential graphs and logarithmic inverses
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | ลอการิทึม |
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจับเลขชี้กำลังให้เป็นปริมาณบวก Which graph reverses that input-output pair?
- ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจับเลขชี้กำลังให้เป็นปริมาณบวก Which graph reverses that input-output pair?
- บทเรียนนี้ศึกษา ลอการิทึม: เลขชี้กำลังที่ฐานที่กำหนดให้ต้องยกกำลังเพื่อผลลัพธ์เป็นค่าบวก
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ a>0, y=a^x มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมดและมีค่าเป็นบวกเสมอ กราฟผ่านจุด (0,1) เมื่อ a>1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น; สำหรับ 0<a<1 it decreases. For a=1 it is the constant 1, with no inverse function. For a>0 และ a≠1, y=log_a x เป็นฟังก์ชันผกผันของ a^x: โดเมนคือ x>0, ช่วงค่าเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ln x คือ log_e x และทำหน้าที่ผกผัน e^x
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why does 1^x have no logarithmic inverse?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An inverse exists only for a one-to-one function. The constant map collapses every x to 1, so "log base 1" cannot exist; valid bases are a>0, a≠1.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
กราฟ 2^x มีจุด (−1,1/2),(0,1),(1,2),(2,4) ฟังก์ชันผกผัน log₂x มีจุด (1/2,−1),(1,0),(2,1),(4,2) โดยสะท้อนผ่านเส้น y=x กราฟ (1/2)^x ให้ค่า 2,1,1/2 ที่ x=−1,0,1 ในขณะที่ฟังก์ชันผกผัน log_(1/2)x เป็นฟังก์ชันลด สำหรับ e^x และ ln x จุด (0,1) และ (1,0) เป็นคู่สะท้อนกัน; ln e=1 และ ln(e³)=3 สำหรับ u จริงใดๆ ln(e^u)=u; สำหรับ x>0, e^(ln x)=x ลอการิทึมเข้าใกล้แต่ไม่แตะขอบเขตแนวตั้ง x=0; e^x เข้าใกล้ y=0 เมื่อ x มีแนวโน้ม towardลบอนันต์
Exponential graphs and logarithmic inverses
For a>0, y=a^x has every real input and positive outputs
State the valid input, plotted variable or time unit before using the logarithmic/exponential relationship.
Find log₂(1/8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2^(−3)=1/8, so the logarithm is −3.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ทั้ง ln0 และลอการิทึมของจำนวนจริงลบไม่มีอยู่ในหลักสูตรจำนวนจริง ค่าผลลัพธ์ลอการิทึมที่เป็นลบอนุญาตได้: ln(1/e)=−1. ฐาน 1 อนุญาตให้ใช้เป็นค่าคงที่เอกซ์โพเนนเชียล แต่ไม่ใช่สำหรับลอการิทึม สำหรับฐานต่ำกว่า 1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ x มีแนวโน้ม towardบวกอนันต์ และฟังก์ชันผกผันจะมีทิศทางเพิ่ม/ลด ตรงข้ามกับกรณี a>1
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ค่าคงที่เอกซ์โพเนนเชียล 1^x มีฟังก์ชันผกผันลอการิทึมสำหรับอินพุตเป็นบวกทั้งหมด ข้อความนี้ผิด อธิบายว่าข้อเท็จจริงหรือสมมติฐานใดถูกละเมิด
Find ln(e³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln is the inverse of e raised to a power, so ln(e³)=3.
The constant exponential 1^x has a logarithmic inverse for all positive inputs.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Neither ln0 nor the logarithm of a negative real number exists in the real-number course. A negative logarithm output is allowed: ln(1/e)=−1. Base 1 is permitted for an exponential constant but not for a logarithm. For a base below 1 the exponential approaches zero as x tends to positive infinity, and the inverse has the opposite increasing/decreasing direction from the a>1 case.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ระบุฐานโดเมนและเร้นจ์ก่อนทำฟังก์ชันผกผัน สลับพิกัดของจุดเอกซ์โพเนนเชียลที่แน่นอนเพื่อสร้างกราฟลอการิทึม รักษาสภาพขอบเขตเปิดและเส้นประบอด ตัวต้น F3 พิมพ์ x≥0; เงื่อนไขอินพุตลอการิทึมที่ถูกต้องที่ใช้ในที่นี้คือ x>0 เนื่องจาก a^u เป็นบวกและไม่เคยเป็นศูนย์
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find e^(ln5).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The positive input 5 lies in the domain of ln, so e^(ln5)=5.
Match each pair to the inverse relationship.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The exponential passes through (0,1); its inverse passes through (1,0). Logarithms accept only positive inputs, though their outputs may be negative.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · F. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปคก่อนกำหนดงานเสริม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
เลขชี้กำลังที่ฐานที่กำหนดให้ถูกต้องต้องยกกำลังเพื่อให้ได้อินพุตเป็นบวก เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์