กฎของลอการิทึม เลขชี้กำลังติดลบ และช่วงของสมการ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | อาร์กิวเมนต์ |
การรวมสองลอการิทึมอาจสร้างพหุนามที่มีรากเพิ่มเติม รากใดที่ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขอินพุตเดิม?
- การรวมสองลอการิทึมอาจสร้างพหุนามที่มีรากเพิ่มเติม รากใดที่ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขอินพุตเดิม?
- บทเรียนนี้ศึกษา argument: อินพุตภายในลอการิทึม ซึ่งต้องเป็นบวกสำหรับลอการิทึมจำนวนจริง
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ a>0, a≠1 และ u,v เป็นบวก: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, และ log_a(u^k)=k log_a u สำหรับ k จริง的规则。เหล่านี้เกิดจากการคูณ/หาร/ยกกำลังของเลขชี้กำลัง โดยเฉพาะ k=−1 ให้ค่าส่วนกลับ และ k=−1/2 ให้ค่ารากที่สองส่วนกลับ แก้ a^x=b, โดย b>0, โดยใช้ x=ln b/ln a.
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 ให้ค่า x²=9 ทำไมจึงปฏิเสธ x=-3?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สมการเดิมกำหนดให้ x-1>0 และ x+1>0 ดังนั้น x>1 รูปแบบรวม ln(x²-1) จะรับค่า -3 ได้ แต่ตัวหวนนี้ไม่ผ่านเงื่อนไขของพจน์ต้นทางในสมการเดิม - ต้องตรวจสอบค่าที่หาได้กับเงื่อนไขเริ่มต้นเสมอ
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ x>0, ln(x^(-1))=−ln x และ ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x. แก้ ln(x−1)+ln(x+1)=ln8: โดเมนเดิมคือ x>1. รวมข้างซ้ายจะได้ ln(x²−1)=ln8, ดังนั้น x²=9 และตัวชี้แนะ ±3; มีเพียง x=3 ที่สอดคล้องกับพจน์ต้นฉบับ. สำหรับ 3^x=20, x=ln20/ln3. หาก 2^(2x)−2^x−2=0, ให้ u=2^x>0: (u−2)(u+1)=0, ดังนั้น u=2 ให้ x=1, ในขณะที่ u=−1 เป็นไปไม่ได้. นอกจากนี้ ln(2+3)=ln5, แต่ ln2+ln3=ln6; ผลบวกภายใน log ไม่สามารถแยกออกได้แบบนั้น.
กฎของลอการิทึม เลขชี้กำลังติดลบ และช่วงของสมการ
สำหรับ a>0, a≠1 และ u,v เป็นบวก: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, และ log_a(u^k)=k log_a u สำหรับ k จริง
ระบุอินพุตที่ใช้งานได้ ตัวแปรที่พล็อต หรือหน่วยเวลา ก่อนใช้ความสัมพันธ์แบบลอการิทึม/เอ็กซ์โพเนนเชียล
แก้ 3^x=27
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
27=3³, ดังนั้น x=3
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การรวมหรือกระจายลอการิทึมไม่ลบโดเมนดั้งเดิมทิ้ง ln(u²)=2ln|u| สำหรับ u≠0; การเขียน 2lnu จำเป็นต้องมี u>0. อย่าใช้ลอการิทึมจำนวนจริงของฝั่งขวาที่เป็นศูนย์หรือลบใน a^x=b สำหรับฐาน 1, 1^x=b จะมีคำตอบทุกจำนวนจริงเมื่อ b=1 และไม่มีคำตอบอื่นๆ; อัตราส่วนลอการิทึมจึงใช้ไม่ได้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
รากพหุนามทุกตัวที่ได้รับหลังจากรวมลอการิทึมจะสอดคล้องกับสมการลอการิทึมเดิม ข้อความนี้ผิด อธิบายว่าข้อเท็จจริงหรือสมมติฐานใดถูกละเมิด
สำหรับ x>0 เขียน ln(x^(-1/2))=klnx. หา k
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กฎเลขชี้กำลังดึงเลขชี้กำลัง −1/2 ออกมา: k=−1/2
รากของพหุนามทุกตัวที่หาได้หลังรวมลอการิทึม จะสอดคล้องกับสมการลอการิทึมเดิม
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การรวมหรือกระจายลอการิทึมไม่ลบโดเมนเดิมออก ln(u²)=2ln|u| สำหรับ u≠0; การเขียน 2lnu จำเป็นต้อง u>0 ด้วย อย่าทำลอการิทึมของศูนย์หรือค่าลบด้านขวาใน a^x=b สำหรับฐาน 1, 1^x=b จะมีคำตอบจริงสำหรับทุก x เมื่อ b=1 และไม่มีคำตอบอื่นๆ; ผลหารลอการิทึมจึงใช้ไม่ได้
ตีความสถานการณ์ใหม่
- จดจำข้อจำกัดความเป็นบวกก่อน ใช้ฐานเดียวกันหนึ่งเดียว แล้วใช้กฎที่ถูกต้อง หลังการคำนวณทางพีชคณิต แทนค่าที่เป็นไปได้ทุกตัวลงในสมการลอการิทึม/เอกซ์โพเนนเชียลเดิม รักษารATIO ลอการิทึมให้แม่นยำ เว้นแต่จะขอทศนิยม การเปลี่ยนฐานลอการิทึมไม่เปลี่ยนคำตอบของสมการเอกซ์โพเนนเชียลเมื่ออัตราส่วนลอการิทึมทั้งสองใช้ฐานที่ถูกต้องเดียวกัน
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หา x ที่ใช้ได้สำหรับ ln(x−1)+ln(x+1)=ln8
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x²=9 ให้ ±3 แต่ทั้งอukaiลógarithm เดิมเป็นบวกเฉพาะเมื่อ x>1; ยอมรับ 3
จับคู่กฎลอการิทึมแต่ละข้อกับข้อความอธิบาย
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กฎเหล่านี้เกิดจากกฎเลขชี้กำลังและใช้ได้เฉพาะกับพจน์ที่เป็นบวกเท่านั้น; สมการ ln(x²)=2ln|x| จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายสัมบูรณ์เมื่อ x อาจเป็นค่าลบได้
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · F. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปคก่อนกำหนดงานเสริม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อินพุตภายในลอการิทึม ซึ่งต้องเป็นบวกสำหรับลอการิทึมจำนวนจริง เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์