กราฟลอการิทึมสำหรับการปรับแบบกำลังและเอ็กซ์โพเนนเชียล
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | จุดตัดแกน |
เส้นโค้งสามารถกลายเป็นเส้นตรงหลังการทำลอการิทึม แกนแนวนอนใดที่แยกแยะโมเดลกำลังจากโมเดลเอกซ์โพเนนเชียลได้?
- เส้นโค้งสามารถกลายเป็นเส้นตรงหลังการทำลอการิทึม แกนแนวนอนใดที่แยกแยะโมเดลกำลังจากโมเดลเอกซ์โพเนนเชียลได้?
- บทเรียนนี้ศึกษา ค่าตัดแกน (intercept): ค่าตัวแปรแนวตั้งที่แปลงแล้วเมื่อตัวแปรแนวนอนที่กำหนดมีค่าเป็นศูนย์
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับข้อมูลและพารามิเตอร์ที่เป็นบวก, y=ax^p โดยที่ x>0 ให้ ln y=ln a+p ln x. กราฟ ln y เทียบกับ ln x: ความชัน p, ค่าตัดแกน ln a. สำหรับ y=kb^x โดยที่ k,b>0, ln y=ln k+x ln b. กราฟ ln y เทียบกับ x: ความชัน ln b, ค่าตัดแกน ln k. ใช้ฐานลอการิทึมเดียวกันสำหรับทั้งสองแกน และคืนค่าพารามิเตอร์ด้วยอินเวอร์สของฐานนั้น
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ในการปรับเทียบแบบ log-log ของสมการ y=ax^p ความชันจะบ่งบอกอะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การใช้ลอการิทึมทั้งสองข้างเปลี่ยนสมการกำลังให้เป็น ln y=ln a+p·ln x: ความชันคือ p, จุดตัดแกนคือ ln a สำหรับกราฟเอก্সโพเนนเชียล y=kb^x ให้พล็อต ln y เทียบกับ x แทน - แกนที่ใช้จะกำหนดความหมายของความชัน
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
ข้อมูลกำลัง (x,y)=(1,3),(2,12),(4,48) ให้ความชัน [ln48−ln3]/[ln4−ln1]=2, ตัดแกน ln3, ดังนั้น y=3x². ข้อมูลเอกซ์โพเนนเชียล (0,5),(1,10),(2,20),(3,40) ให้ความชัน ln2 และตัดแกน ln5, ดังนั้น y=5×2^x. เมื่อใช้ลอการิทึมฐาน10 แล้วความชันเอกซ์โพเนนเชียลเดียวกันจะเป็น log₁₀2≈0.30103, ดังนั้น b=10^0.30103≈2 แทนที่จะเป็น e^0.30103. การสังเกตข้อมูลกำลังใหม่ (3,30) เกินกว่าค่าทำนายที่ปรับแล้ว 27 ด้วยส่วนเหลือ residual 3; เซตข้อมูลสำหรับปรับเทียบที่เป็นเส้นตรงอย่างสมบูรณ์ไม่ได้พิสูจน์ว่าโมเดลนั้นถูกต้องเหนือช่วงข้อมูลที่สังเกต
กราฟลอการิทึมสำหรับการปรับแบบกำลังและเอ็กซ์โพเนนเชียล
สำหรับค่าสังเกตและพารามิเตอร์ที่เป็นบวก, y=ax^p เมื่อ x>0 จะให้ ln y=ln a+p ln x
ระบุอินพุตที่ใช้งานได้ ตัวแปรที่พล็อต หรือหน่วยเวลา ก่อนใช้ความสัมพันธ์แบบลอการิทึม/เอ็กซ์โพเนนเชียล
หาเลขชี้กำลังกำลังสำหรับข้อมูลกำลังที่กำหนด
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความชันของกราฟ log-log คือ ln16/ln4=2
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- สำหรับการปรับรูปแบบกำลัง ความชันคือเลขชี้กำลัง ไม่ใช่ลอการิทึมของเลขชี้กำลัง. สำหรับการปรับเอ็กซ์โพเนนเชียล ความชันคือลอการิทึมของฐาน ไม่ใช่ฐานเอง. จุดตัดแกนของกราฟกำลังสอดคล้องกับ x=1 เพราะ ln x=0 ที่นั่น; จุดตัดแกนของเอ็กซ์โพเนนเชียลสอดคล้องกับ x=0. ค่าสังเกตที่ไม่เป็นบวกไม่สามารถนำลอการิทึมโดยตรงได้. กราฟ semi-logarithm ของ y อาจมี x=0 หรือค่าลบ; แต่กราฟ log-log ของรูปแบบกำลังไม่สามารถทำได้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การพล็อต ln y เทียบกับ x ทำให้โมเดลกำลังทุกชนิด y=ax^p เป็นเชิงเส้น ข้ออ้างนี้ผิด อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือข้อสมมติใด
หาพารามิเตอร์การคูณ a ของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าตัดแกนคือ ln3 ดังนั้น a=e^(ln3)=3
การพล็อต ln y เทียบกับ x ทำให้โมเดลกำลัง y=ax^p ทุกตัวเป็นเส้นตรง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สำหรับการปรับแบบกำลัง ความชันคือเลขชี้กำลัง ไม่ใช่ลอการิทึมของมัน สำหรับการปรับแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ความชันคือลอการิทึมของฐาน ไม่ใช่ฐานเอง จุดตัดของกราฟกำลังสอดคล้องกับ x=1 เพราะ ln x=0 ที่นั่น; จุดตัดของเอ็กซ์โพเนนเชียลสอดคล้องกับ x=0 ข้อมูลที่ไม่เป็นบวกไม่สามารถทำลอการิทึมโดยตรงได้ กราฟ log-y แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลอาจมี x=0 หรือ x เป็นลบได้; แต่กราฟ log-log แบบกำลังไม่ได้
ตีความสถานการณ์ใหม่
- กำกับแกนนับที่แปลงแล้วและประมาณค่าความชันจากจุดที่แยกออกจากกันดีบนเส้นที่ปรับสมการแล้ว ไม่ใช่จากจุดข้อมูลเพียงจุดเดียว ฟื้นคืนพารามิเตอร์ค่าตัดแกนแต่ละตัวก่อนกลับไปยังหน่วยเดิม แทนค่าทำนายเข้าไปในโมเดลดั้งเดิมและตรวจสอบส่วนเหลือ在那里陈述ปรับ拟合ช่วง, ความไม่แน่นอนของการวัด และการต่อเส้น extrapolation นั้นเหมาะสมหรือไม่; ความเบี่ยงเบนแบบระบบสามารถบ่งชี้ถึงโมเดลอื่น
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาฐานเอ็กซ์โพเนนเชียล b สำหรับข้อมูลเอ็กซ์โพเนนเชียลที่กำหนด
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความชันของกราฟ semilog คือ ln2 ดังนั้น b=e^(ln2)=2
จับคู่แต่ละโมเดลกับกราฟที่ทำให้เป็นเชิงเส้น
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กราฟกำลังไม่สามารถใช้ลอการิทึมของ x ที่ไม่เป็นบวกได้ ในขณะที่กราฟเอกซ์โพเนนเชียลอนุญาตให้ x เป็นค่าใดก็ได้ จุดตัดแกนสอดคล้องกับ ln x=0 หรือ x=0 ตามลำดับ
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · F. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปคก่อนกำหนดงานเสริม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ค่าตัวแปรแนวตั้งที่แปลงแล้วเมื่อตัวแปรแนวนอนที่กำหนดมีค่าเป็นศูนย์ เลือกความสัมพันธ์, แสดงวิธีทำ, ตรวจสอบข้อสมมติและตีความผลลัพธ์