H · Integration

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน H (การอินทิเกรต), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้พื้นฐาน: การหาอนุพันธ์จากส่วน G

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• กราฟความเร็วของนักวิ่งลดลงต่ำกว่าแกนเวลา สักพักแล้วค่อยๆ สูงขึ้น "พื้นที่ใต้กราฟ" เกือบเป็นศูนย์ — นักวิ่งจะไม่ได้เคลื่อนที่เลย?
• ก่อนอ่านต่อ บอกว่า signed area หมายถึงอะไร, และ how total distance แตกต่างจาก displacement.

วิธีทำ

• การอินทิเกรตเป็นการย้อนกลับของการหาอนุพันธ์: ฟังก์ชันต้นแบบ ของ axⁿ คือ axⁿ⁺¹/(n+1) + C สำหรับ n ≠ −1, mientras 1/x อินทิเกรตได้ ln|x| + C. อินทิกรัลจำกัดเขต จาก a ถึง b คือการสะสมมีเครื่องหมาย: F(b) − F(a)
• พื้นที่มีเครื่องหมายจะหักล้างเมื่อกราฟตัดแกน ดังนั้นพื้นที่รวมบวกต้องใช้ แบ่ง อินทิกรัลที่จุดตัดแต่ละจุด ทฤษฎีบทพื้นฐาน เชื่อมโยงทั้งสองทิศทาง: การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันสะสมจะคืนตัวถูกอินทิเกรตกลับมา
• antiderivative: ฟังก์ชัน whose derivative คือ integrand ที่กำหนด; definite integral: The signed accumulation ของฟังก์ชันระหว่างสอง limits; Fundamental Theorem: The two-way link ที่ differentiating accumulation function ให้กลับเป็น integrand.

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• ตรวจสอบฟังก์ชันต้นแบบทุกตัวโดยการหาอนุพันธ์กลับ และเก็บค่าคงที่ C ไว้สำหรับอินทิกรัลไม่จำกัดเขต — จุดที่กำหนดให้ช่วยกำหนดค่า case n = −1 แยกต่าง: 1/x อินทิเกรตได้ ln|x|, ไม่ใช้กฎกำลังกับการหารด้วยศูนย์
• ก่อนคำนวณพื้นที่รวม ให้หาการเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวถูกอินทิเกรตในช่วงและแบ่งตรงนั้น; ความเร็วที่มีการเปลี่ยนเครื่องหมายทำให้การกระจัดและระยะทางเป็นคำตอบต่างกัน

กรณีฝึกทำ

• ข้อมูลที่ทราบ: v(t) = 3t² − 3 สำหรับ 0 ≤ t ≤ 2. An antiderivative คือ t³ − 3t. Displacement = [t³ − 3t] จาก 0 ถึง 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. แต่ v = 0 ที่ t = 1, ดังนั้น total distance = −[t³ − 3t] จาก 0 ถึง 1 + [t³ − 3t] จาก 1 ถึง 2 = 2 + 4 = 6 m.

ตัวอย่าง:

หาพื้นที่ระหว่าง y = x² และแกน x จาก 0 ถึง 1 จากนั้นใช้ประมาณค่าสี่เหลี่ยมด้านขนานปลายขวาด้วย 4 สตรีป โดยใช้ลำดับเดียวกัน (คำตอบ: ค่าที่แท้จริง ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333; การประมาณคือ (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, ซึ่งเป็นค่าที่เกินจริงสำหรับโค้งนูนเพิ่มขึ้นนี้)

ขอบเขตกับกับดัก

• Integration คือ limit ของ rectangle sums; การนับ finite strip เฉพาะประมาณค่าเท่านั้น, และ error ขึ้นอยู่กับ curvature. อย่า integrate ผ่าน discontinuity เช่น 1/x ที่ x = 0, และ rememberSigned area อาจเป็นศูนย์ mientras total area เป็นบวก.

เตือน:

อินทิกรัล_examples เสมอเท่ากับพื้นที่บวกทั้งหมดระหว่างกราฟและแกน ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลเป็นพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย — พื้นที่ใต้แกนจะนับเป็นลบ ดังนั้นการกระจัดอาจมีค่าน้อยหรือเป็นศูนย์ แต่ระยะทางรวมที่เคลื่อนที่อาจมีค่ามาก

จุดสำคัญ:

Integration: Antiderivatives ตรวจสอบโดยการ differentiate กลับ, with C fixed by a supplied point; Definite integrals คือ signed accumulation F(b) − F(a); Total area ต้องการ split ที่ทุก sign change, และ Fundamental Theorem เชื่อมโยง accumulation กับ integrand.