ฟังก์ชันต้นแบบพื้นฐาน ค่าสัมประสิทธิ์ และโดเมน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | ฟังก์ชันต้นแบบ |
การหาอนุพันธ์คูณพจน์เอ็กซ์โพเนนเชียลหรือตรีโกณมิติด้วยสัมประสิทธิ์ การอินทิเกรตควรundoปัจจัยนี้อย่างไร?
- การหาอนุพันธ์คูณพจน์เอ็กซ์โพเนนเชียลหรือตรีโกณมิติด้วยสัมประสิทธิ์ การอินทิเกรตควรundoปัจจัยนี้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา อินทิกรัลไม่จำกัดรูปแบบ (Antiderivative): ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์คือตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดบนช่วงที่ระบุ
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับเลขชี้กำลังจริงบนโดเมนที่อนุพันธ์ได้ ให้หาอินทิกรัลของ x^n เป็น x^(n+1)/(n+1)+C เมื่อ n≠−1. หาอินทิกรัลของ 1/x เป็น ln|x|+C บนช่วงที่ไม่รวมศูนย์ สำหรับ k≠0, อินทิกรัลของ e^(kx), sin(kx), cos(kx) คือ e^(kx)/k, −cos(kx)/k, sin(kx)/k ตามลำดับ บวกด้วยค่าคงที่ ใช้ความเป็นเชิงเส้นต่อผลรวมและค่าคงที่คูณ; ตรวจสอบด้วยการหาอนุพันธ์
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไมอินทิกรัลของ 1/x จึงไม่ใช่ x⁰/0 หรือกรณีของกฎเลขชี้กำลังอื่นๆ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎเลขชี้กำลังหารด้วย n+1 ซึ่งล้มเหลวที่ n=-1 ช่องว่างนี้ถูกเติมเต็มด้วยลอการิทึม: (ln|x|)′=1/x ทั้งสองข้างของศูนย์ โดย |x| ครอบคลุมค่าลบ
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ f(x)=6x²−4e^(2x)+3cos(3x)−2sin(2x)+5/x โดยที่ x>0, F=2x³−2e^(2x)+sin(3x)+cos(2x)+5ln x+C. การหาอนุพันธ์แต่ละครั้งจะคืนพจน์ที่ตรงกัน Each derivative recovers its matching term. บน x<0, แทนที่ 5/x ด้วย 5ln(−x), หรือ 5ln|x|; ค่าคงที่อาจแตกต่างกันในช่วงที่ไม่ต่อเนื่อง. อินทิกรัลของ 3cos(3x) จาก 0 ถึง π/6 คือ sin(π/2)−sin 0=1. สำหรับ F′=6x² และ F(1)=7, F=2x³+5. หาก k=0, e^(kx)=1 และ cos(kx)=1 หาอินทิกรัลได้เป็น x+C, mientras que sin(kx)=0 หาอินทิกรัลได้เป็น C; ห้ามหารด้วย k=0.
ฟังก์ชันต้นแบบพื้นฐาน ค่าสัมประสิทธิ์ และโดเมน
สำหรับกำลังจริงบนโดเมนที่อนุพันธ์ได้ ให้อินทิเกรต x^n เป็น x^(n+1)/(n+1)+C เมื่อ n≠−1
ตรวจสอบสมมติฐาน จุดปลายและสัมประสิทธิ์เบื้องหลังการคำนวณอินทิกรัลแต่ละครั้ง
สำหรับ F′=6x² และ F(1)=7 จงหาค่าคงที่ของการอินทิเกรต
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
7=2×1³+C ทำให้ C=5
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- เลขชี้กำลัง n=−1 เป็นกรณีลอการิทึมแยกต่างหาก ไม่ใช่การหารด้วยศูนย์ในสูตรเลขชี้คงที่ รักษาเครื่องหมายในอินทิกรัลของ sine และหารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ ln x เพียงอย่างเดียวไม่ได้ครอบคลุมค่า x ที่ติดลบ อินทิกรัลไม่จำกัดรูปแบบต้องการค่าคงที่; อินทิกรัลจำกัดรูปแบบมีค่าตัวเลขเมื่อมีขีดจำกัดที่ถูกต้อง
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การหาอินทิกรัล cos(kx) ให้ผลลัพธ์เป็น k sin(kx) เสมอ รวมถึง k=0 ข้ออ้างนี้ผิด อธิบายว่าข้ออ้างนั้นละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
หาผลคูณจำกัดที่คำนวณแล้วของ 3cos(3x)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันต้นแบบ sin(3x) ให้ sin(π/2)−sin 0=1
การอินทิเกรต cos(kx) จะให้ k sin(kx) เสมอ รวมถึงเมื่อ k=0
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กำลัง n=−1 เป็นกรณีลอการิทึมแยกต่างหาก ไม่ใช่การหารด้วยศูนย์ในสูตรกำลัง รักษาสัญญาณไว้ในฟังก์ชันต้นแบบของ sine และหารด้วยสัมประสิทธิ์ของอาร์กิวเมนต์ ln x เพียงอย่างเดียวไม่ครอบคลุมค่า x ที่ติดลบ อินทิกรัลที่ไม่จำกัดต้องมีค่าคงที่; อินทิกรัล_examplesจะมีค่าตัวเลขเมื่อมีขอบเขตที่ถูกต้อง现实主义จริงอาจจำกัดโดเมน
ตีความสถานการณ์ใหม่
- หาอนุพันธ์ทีละพจน์เพื่อตรวจสอบสัมประสิทธิ์และเครื่องหมาย และระบุช่วงก่อนใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเศษส่วน รูปแบบพื้นฐาน H2 ที่ตั้งชื่อ ได้แก่ เลขชี้กำลัง, e^(kx), 1/x, sin(kx) และ cos(kx). รูปแบบอื่นต้องการการพิสูจน์แยกต่างหากและไม่ถูกระบุว่าเป็นรูปแบบ H2บังคับเพิ่มเติม
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
จงหาค่าอนุพันธ์ของ 5ln|x| ที่ x=−2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์คือ 5/x ในทุกช่วงที่เป็นไปได้ ซึ่งให้ −5/2
จับคู่ตัวประกอบอินทิเกรตแต่ละตัวกับฟังก์ชันต้นแบบของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตรวจสอบฟังก์ชันต้นแบบทั้งหมดโดยการหาอนุพันธ์กลับ; sine มีเครื่องหมายลบ และ k=0 จะลดรูปเป็นค่าคงที่ที่ต้องจัดการแยกต่างหาก
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · H. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปกก่อนกำหนดงานเสริม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์คือตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดบนช่วงที่ระบุ เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์