การหาค่ารากและการอินทิเกรตแบบตัวเลข
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | การทำซ้ำ |
ความน่าเชื่อถือของค่าประมาณมีอย่างไร?
- สมการไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนที่สะดวก ค่าประมาณยังต้องการหลักฐานว่ามีความน่าเชื่อถือ
- บทเรียนนี้ศึกษา การทำซ้ำ: การอัปเดตซ้ำที่แต่ละค่าประมาณใหม่คำนวณจากค่าก่อนหน้า
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามที่ปลายสองจุดจะมีรากอยู่ระหว่างจุดนั้น วิธีนิวตันใช้ x_next=x-f(x)/f'(x) พร้อมอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ กฎสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณอินทิกรัล_examples using endpoint heights
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
f(x)=1/x เปลี่ยนเครื่องหมายระหว่าง -1 และ 1 ทำไมสิ่งนี้จึงไม่พิสูจน์ว่ามีรากใน [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การให้เหตุผลด้วยค่ากลางต้องการความต่อเนื่องตลอดช่วงที่พิจารณา ที่จุด asymptote x=0 ฟังก์ชันกระโดดจากค่าลบไปค่าบวกโดยไม่มีรากอยู่
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ f(x)=x²-2 และ x₀=1.5 นิวตันให้ x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667 ด้วย y=x² บน [0,2] และช่องแบ่งเท่ากันสองช่อง h=1 และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู=(1/2)(0+2×1+4)=3; พื้นที่ที่แท้จริงคือ 8/3
การหาค่ารากและการอินทิเกรตแบบตัวเลข
ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าตรงกันข้ามที่ปลายทั้งสองด้านจะมีรากอยู่ระหว่างสองจุดนั้น
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
หลังจากหนึ่งขั้นตอนของ Newton สำหรับ x²-2 จาก x₀=1.5, หา x₁
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x₁=1.5-(1.5²-2)/(2×1.5)=17/12≈1.416667.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การเปลี่ยนเครื่องหมายข้ามจุดไม่ต่อเนื่องไม่ได้พิสูจน์การมีราก การทำซ้ำอาจลู่เข้าหรือเกิดวัฏจักร กฎสี่เหลี่ยมคางหมูที่ประมาณค่าเกินหรือต่ำกว่าขึ้นอยู่กับความโค้ง ไม่ใช่แค่ว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือไม่
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ทุกการเปลี่ยนเครื่องหมายพิสูจน์การมีราก รวมถึงที่ข้ามจุดไม่ต่อเนื่อง ประโยคนี้ผิด อธิบายว่าข้อจำกัดหรือนิยามใดถูกละเมิด
ใช้สองแถบสำหรับการประมาณค่าอินทิกรัล x² จาก 0 ถึง 2 ด้วยวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
h=1 dengan ketinggian 0,1,4 ให้ (1/2)(0+2×1+4)=3
ทุกการเปลี่ยนเครื่องหมายยืนยันว่ามีรากอยู่จริง รวมถึงกรณีข้ามจุดไม่ต่อเนื่องด้วย
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเปลี่ยนเครื่องหมายข้ามจุดไม่ต่อเนื่องไม่ได้พิสูจน์ว่ามีการมีราก การทำซ้ำอาจลู่เข้าหรือเกิดวัฏจักร กฎสี่เหลี่ยมคางหมูให้ค่าประมาณเกินหรือน้อยขึ้นอยู่กับความโค้ง ไม่ใช่แค่ฟังก์ชันเพิ่มหรือลด
ตีความสถานการณ์ใหม่
- กำหนดเกณฑ์หยุดและรายงานความแม่นยำที่เหมาะสม ยืนยันรากโดยประมาณด้วยการหาช่วงเปลี่ยนเครื่องหมายรอบคำตอบที่ปัดเศษที่ระบุ อธิบายเหตุผลที่การทำซ้ำที่เลือกล้มเหลว
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาค่าอินทิกรัลที่แน่นอนของ x² จาก 0 ถึง 2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าอินทิกรัลที่แน่นอนคือ [x³/3] จาก 0 ถึง 2 = 8/3
จับคู่แต่ละวิธีเชิงตัวเลขกับสูตรอัปเดตหรือกฎของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละวิธีมีเงื่อนไขของตัวเอง: วิธีแบ่งครึ่งต้องการการเปลี่ยนสัญญาณที่ต่อเนื่อง, นิวตันต้องการอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์, และวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูต้องการความกว้างของแถบเท่ากัน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · I. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
การอัปเดตซ้ำที่การประมาณค่าใหม่แต่ละตัวคำนวณจากค่าก่อนหน้า เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์