D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน D (ลำดับและอนุกรม), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้พื้นฐาน: GCSE ลำดับเลขคณิตและสมการคู่

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• ผู้ออมเงินฝากจำนวนเท่าเดิมทุกปี ในขณะที่การลงทุนเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นเปอร์เซ็นต์เท่าเดิมทุกปี หลังแปดปี คุณสามารถรวมยอดคงเหลือได้เป๊ะๆ ในบรรทัดเดียวด้วยข้อใด?
• ก่อนอ่านต่อ ให้ระบุว่าข้อใดเพิ่มขึ้นด้วยการบวกและข้อใดเพิ่มขึ้นด้วยการคูณ และสูตรผลบวกแต่ละแบบต้องการสิ่งใดบ้าง

วิธีทำ

• ลำดับเลขคณิต เพิ่มค่าส่วนต่างคงที่: uₙ = a + (n − 1)d. ผลบวกอนุกรมหาค่าได้จากการจับคู่ปลายทั้งสอง: Sₙ = n(a + uₙ)/2. ลำดับเรขาคณิต คูณด้วยอัตราส่วนคงที่: uₙ = arⁿ⁻¹, โดยมี Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) สำหรับ r ≠ 1
• ผลบวกอนันต์ของลำดับเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r| < 1 เนื่องจากพจน์ต่างๆ มีขนาดลดลงเข้าใกล้ศูนย์: S∞ = a/(1 − r). ความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ นิยามแต่ละพจน์จากพจน์ก่อนหน้าและต้องการค่าเริ่มต้น; ลำดับซ้ำ周期 จะซ้ำหลังจากจำนวนขั้นที่กำหนดตายตัว
• ลำดับเลขคณิต: ลำดับที่มีค่าส่วนต่างคงที่ระหว่างพจน์; ลำดับเรขาคณิต: ลำดับที่มีอัตราส่วนคงที่ระหว่างพจน์; ความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ: กฏการให้ค่าแต่ละพจน์จากค่าก่อนหน้า; ลำดับซ้ำ周期: ลำดับwhose พจน์จะซ้ำหลังจากจำนวนขั้นที่กำหนดตายตัว

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• recovering a และ d จากพจน์ที่กำหนดสองค่าโดยใช้ระบบสมการพร้อมกันก่อนใช้สูตร: u₃ = 10 และ u₇ = 22 ให้ 4d = 12, ดังนั้น d = 3 และ a = 4. จำนวนพจน์ต้องออกมาเป็นจำนวนเต็มบวก; เศษหรือรากติดลบถูกปฏิเสธ ไม่สามารถปัดเศษให้เป็นตัวเลขที่ถูกต้องได้
• ตรวจสอบผลบวกที่อ้างถึงโดยดูที่พจน์แรกๆ โดยตรง และตรวจสอบเป้าหมายขั้นต่ำagainst จำนวนเต็มบน BOTH ด้านของการตัดกัน

กรณีฝึกทำ

• ข้อมูลกำหนด: a = 5, d = 3, n = 8. พจน์ที่แปดคือ u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. ผลบวกคือ S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. คู่ปลายทั้งสี่รวมกันได้ 31, และ 4 × 31 = 124 ✓

ตัวอย่าง:

สำหรับ a = 12, r = 0.5, จงหาผลบวกอนันต์และค่า n แรกที่ผลบวกย่อยเกิน 23.9, using the same sequence: known → formula → substitution → integer check. (คำตอบ: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. ผลบวกย่อยคือ Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 และ S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, ดังนั้น n = 8.)

ขอบเขตกับกับดัก

• สูตรผลรวมอนันต์ใช้ไม่ได้ที่ r = 1 หรือ r = −1 ซึ่งพจน์ไม่ลดลง; อัตราลบจะลู่เข้าหากขนาดสัมบูรณ์น้อยกว่า 1. การหาความสัมพันธ์แบบวนซ้ำต้องรักษาลำดับการดำเนินการไว้อย่างแม่นยำ: B ถัดไป = 1.1B + 50 แตกต่างจาก 1.1(B + 50).

เตือน:

อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์ ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง: ผลบวกจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r| < 1. ที่ r = 2 พจน์จะเพิ่มขึ้นไม่มีlients, และที่ r = −1 ผลบวกย่อยจะสลับไปมาตลอด — ทั้งสองไม่ลู่เข้า

จุดสำคัญ:

ลำดับและอนุกรม: เลขคณิตเพิ่ม (จับคู่ปลายเพื่อผลบวก), เรขาคณิตคูณ (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r), และ S∞ = a/(1−r) สำหรับ |r| < 1) เท่านั้น. ฟื้นฟูพารามิเตอร์จากพจน์ที่กำหนด, และต้องการคำตอบเป็นจำนวนเต็มสำหรับจำนวนนับ