Binomial expansion and valid approximations
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ทวินาม |
การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังอย่างไร?
- การวัดค่าที่เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยส่งผลต่อกำลังของปริมาณนั้น การขยายอนุกรมสามารถแสดงขนาดของผลกระทบอันดับแรกและอันดับสองได้
- บทเรียนนี้ศึกษา สัมประสิทธิ์ทวินาม: จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนที่กำหนดจากเซต
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการขยายทวินามที่มีพจน์จำกัด สำหรับ n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ให้ขยาย (1+x)^n เป็น 1+nx+n(n-1)x²/2+... เมื่อ |x|<1. ดึงตัวคูณออกก่อนใช้รูปแบบนี้
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
For the infinite expansion of (1+2x)^(-1), which condition is required?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The validity condition |u|<1 applies to the whole bracket term u=2x, so |x|<1/2. Using |x|<1 would wrongly accept x=0.9, where the series diverges.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. สำหรับ (1+x)^(-1), พจน์สามแรกคือ 1-x+x²; ที่ x=0.1 จะได้ค่าประมาณ 0.91 เมื่อเทียบกับค่าที่แท้จริง 1/1.1≈0.909091.
Binomial expansion and valid approximations
For positive integer n, (a+b)^n is a finite binomial expansion
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the coefficient of x² in (1+2x)^5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Choose two of five factors and include 2²: C(5,2)×4=40.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การขยายใน 2x ต้องใช้เงื่อนไข |2x|<1 дляอนุกรมอนันต์ ไม่ใช่เพียง |x|<1. การขยายด้วยเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกจะมีพจน์จำกัดและไม่มีการจำกัดการลู่เข้าแบบนั้น
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การขยายทวินามทุกชนิดเป็นพหุนามที่มีพจน์จำกัด รวมถึงกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อเท็จจริงหรือสมมติฐานใดที่ขัดแย้งกับข้อความนี้
Use 1-x+x² to estimate 1/(1+x) at x=0.1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitute 0.1: 1-0.1+0.01=0.91.
Every binomial expansion is a finite polynomial, including powers that are not positive integers.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An expansion in 2x requires |2x|<1 for the infinite series, not merely |x|<1. Positive-integer expansions are finite and do not have that convergence restriction.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ระบุช่วงของการใช้ค่าควบคู่ไปกับการประมาณค่า เก็บพจน์ให้เพียงพอเพื่อรองรับความแม่นยำที่ต้องการ และแยกแยะระหว่างสัมประสิทธิ์กับพจน์ที่รวม x ไว้ด้วย
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
How many terms are in the full expansion of (a+b)^5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The powers run from 0 through 5, giving six terms.
Match each expansion fact to its statement.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Positive-integer powers expand finitely with binomial coefficients; other powers give infinite series that converge only inside the validity interval.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · D. ตรวจสอบระดับเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนที่กำหนดจากเซต เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์