Factorials, combinations and binomial coefficients
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | การจัดหมู่ |
สัมประสิทธิ์ของทวินามนับว่าปัจจัยใดมีบทบาทในการสร้างพจน์ x ทำไมสัมประสิทธิ์ของ x² จึงไม่ใช่เลขตรงกลางในสามเหลี่ยมพา斯卡?
- สัมประสิทธิ์ของทวินามนับว่าปัจจัยใดมีบทบาทในการสร้างพจน์ x ทำไมสัมประสิทธิ์ของ x² จึงไม่ใช่เลขตรงกลางในสามเหลี่ยมพา斯卡?
- บทเรียนนี้ศึกษา การเลือก: การเลือกที่ลำดับไม่ทำให้ตัวเลือกแตกต่างกัน
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบ, n!=n(n−1)…1 และ 0!=1 สำหรับ 0≤r≤n, nCr=n!/[r!(n−r)!] นับการจัดเลือกแบบไม่มีลำดับ ใน (a+bx)^n ที่มีเลขชี้กำลัง n เป็นจำนวนเต็มบวก, สัมประสิทธิ์ของ x^r คือ nCr × a^(n−r) × b^r จำนวนพจน์คือ r+1 เมื่อเขียนการกระจายตามกำลังของ x ที่เพิ่มขึ้น
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why is the x² coefficient in (2+3x)⁴ not just 4C2=6?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The binomial coefficient counts the arrangements; the x² term is 4C2×2²×(3x)²=6×4×9x²=216x². Omitting the a and b powers is the standard error.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
4!=24 และ 4C2=24/(2×2)=6. สัมประสิทธิ์สำหรับ n=4 คือ 1,4,6,4,1. ใน (2+3x)^4, พจน์ x² คือ 4C2×2²×(3x)²=216x²; ค่าคงที่คือ 2⁴=16 และพจน์ x คือ 4×2³×3x=96x. สำหรับ 4 การทดลองอิสระ โดยแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นสำเร็จ 1/3, ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จพอดี 2 ครั้งคือ 4C2×(1/3)²×(2/3)²=8/27. สัมประสิทธิ์ 6 นับตำแหน่งความเป็นไปได้ของการสำเร็จ; แต่ละการจัดวางมีความน่าเท่ากัน
Factorials, combinations and binomial coefficients
For a nonnegative integer n, n!=n(n−1)…1 and 0!=1
Connect a factored expression to its graph or expansion coefficients.
Evaluate 4!.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4!=4×3×2×1=24.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อย่าลืมยกกำลังของ a หรือ b เมื่อใช้สัมประสิทธิ์การเลือก พจน์ x² คือพจน์ที่สาม ไม่ใช่พจน์ที่สอง สูตรความน่าต้องการจำนวนการทดลองที่กำหนด ผลลัพธ์แบบไบนารีที่เป็นอิสระ และความน่าจะเป็นสำเร็จเท่าเดิม; ความน่าเปลี่ยนได้ทำให้โมเดลง่ายนี้ใช้ได้ไม่ถูกต้อง
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
สัมประสิทธิ์ของ x² ใน (a+bx)^n คือ nC2 เสมอ ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
Evaluate 4C2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4C2=4!/(2!2!)=24/4=6.
The x² coefficient of (a+bx)^n is always just nC2.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not omit the powers of a or b when using a combination coefficient. The x² term is the third term, not the second. The probability expression needs a fixed number of trials, independent binary outcomes and the same success probability; a changing probability invalidates this simple model.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ใช้ความสมมาตร nCr=nC(n−r) และตัดตัวประกอบแฟกทอเรียลออกก่อนคำนวณ เพื่อหาสัมประสิทธิ์ของ x³ ใน (2+3x)^4, ใช้ 4C3×2×3³=216. สูตรพหุนามจำกัดนี้ใช้กับ n เป็นจำนวนเต็มบวก; หากเป็นเลขชี้กำลังเศษส่วน จะได้รับอนุกรมทวินามทั่วไปแยกต่างหากพร้อมช่วงความถูกต้องที่กำหนด
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find the coefficient of x² in (2+3x)^4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient is 6×2²×3²=216.
Match each binomial quantity to its value or rule.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
nCr counts unordered selections; in an expansion it multiplies a^(n-r)b^r, and ascending powers start at r=0.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · D. ตรวจสอบระดับเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
การเลือกที่ลำดับไม่ทำให้ตัวเลือกแตกต่างกัน เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์