E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน E (ตรีโกณมิติ), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้ก่อนหน้า: ตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมมุมฉากระดับ GCSE และค่าที่แม่นยำ

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• นักเรียนสองคนได้รับ A = 30°, a = 7 และ b = 10 คนหนึ่งรายงานว่ามีสามเหลี่ยมเพียงรูป แต่คนอื่นยืนยันว่ามีสองรูปและทั้งสองเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อมูลใดที่จะแยกแยะกรณีเหล่านี้ได้?
• ก่อนอ่านต่อไป ให้ระบุว่ากฎใดจับคู่ด้านกับมุมตรงข้าม, และคำตอบ arcsine ต้องการการตรวจสอบเพิ่มเติมอะไรบ้าง

วิธีทำ

• บน วงกลมหน่วย จุดที่มุม θ คือ (cos θ, sin θ) ดังนั้นเครื่องหมายจะขึ้นอยู่กับจตุภาค และค่าที่แม่นยำมาจากสามเหลี่ยม 30-60-90 และ 45-45-90 เรเดียน คือมุม whose arc เท่ากับรัศมี: s = rθ และพื้นที่ส่วนวงกลม = r²θ/2 ต้องใช้หน่วยเรเดียน
• กฎของไซน์จับคู่ด้านตรงข้ามกับมุมตรงข้าม: a/sin A = b/sin B. กฎของโคไซน์ a² = b² + c² − 2bc cos A ใช้มุมตรงข้ามด้าน a. ใน กรณีกำกวม, sin B = b sin A / a อาจให้ค่า B หรือมุม suplementary 180° − B — ต้องทดสอบทั้งสองค่ากับมุมที่เหลืออยู่
• วงกลมหน่วย: วงกลมที่มีรัศมี 1 ที่จุด (cos θ, sin θ) คือจุดที่มุม θ; เรเดียน: มุมที่สร้างโดยส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมี; กฎของไซน์: กฎ a/sin A = b/sin B ที่จับคู่ด้านตรงข้ามกับมุม; กฎของโคไซน์: กฎ a² = b² + c² − 2bc cos A; กรณีไม่แน่นอน: สถานการณ์ของกฎที่ไซน์ซึ่งอาจมีสามเหลี่ยมสองรูปที่ตรงกับข้อมูลเดียวกัน

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• เลือกกฎจากข้อมูลที่ทราบ: คู่ด้าน-มุมที่ตรงกันต้องใช้กฎของไซน์; สองด้านพร้อมมุมระหว่าง (included angle) หรือสามด้าน ต้องใช้กฎของโคไซน์ สำหรับพื้นที่ ab sin C / 2 ต้องใช้มุมระหว่าง a และ b
• ทดสอบแต่ละมุมที่เป็นไปได้: มุมที่เหลือ C = 180° − A − B ต้องเป็นบวก และทุกด้านต้องเป็นบวก เครื่องคิดเลขที่คำนวณ arcsine จะให้ค่าหลักแบบ acute เท่านั้น — มุม supplement เป็นอีกตัวเลือกหนึ่งที่ต้องพิจารณา

กรณีฝึกทำ

• ข้อมูลที่ทราบ: ด้าน 6 และ 8 ล้อมรอบมุม 60°. ใช้กฎของโคไซน์: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. ดังนั้น c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. พื้นที่คือ (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

ตัวอย่าง:

สำหรับ A = 30°, a = 7, b = 10, หาค่าที่เป็นไปได้ของ B โดยใช้ลำดับขั้นตอนเดียวกัน: ข้อมูลที่ทราบ → กฎของไซน์ → ทั้งสองสาขา → ตรวจสอบความถูกต้อง. (คำตอบ: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, ดังนั้น B ≈ 45.6° หรือ B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. ทั้งสองค่าทำให้มุมที่สามเป็นบวกได้ ดังนั้นมีสามเหลี่ยม TWO形.)

ขอบเขตกับกับดัก

• กรณีไม่แน่นอนต้องการนับจำนวน: ด้วย h = b sin A และ A แบบ acute, a < h ไม่มี, a = h มีสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูป, h < a < b มีสองรูป, และ a ≥ b มีหนึ่งรูป สมการตรีโกณมิติบนช่วงต้องระบุคำตอบทั้งหมด: sin x = 1/2 บน [0, 2π) มีทั้ง π/6 และ 5π/6

เตือน:

ค่า inverse-sine ของเครื่องคิดเลขคือมุมเดียวที่เป็นไปได้ในปัญหากฎของไซน์ ข้ออ้างนี้ผิด: Sine เป็นบวกในสองจตุภาค ดังนั้นมุม supplement 180° − B เป็นตัวเลือกที่สองและต้องตรวจสอบ ซึ่งนี่คือกรณีไม่แน่นอนพอดี

จุดสำคัญ:

ตรีโกณมิติ: วงกลมหน่วยสำหรับค่าและเครื่องหมาย, เรเดียนสำหรับส่วนโค้งและส่วนวงกลม, กฎของไซน์พร้อมกรณีไม่แน่นอน, กฎของโคไซน์สำหรับมุมระหว่าง, และ ab sin C / 2 สำหรับพื้นที่ — ต้องมีการตรวจสอบความถูกต้องของมุมเสมอ