The ambiguous sine-rule case and valid triangle counts
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | กรณีกำกวม |
ด้านสองด้านและมุมที่ไม่ได้ถูกล้อมรอบสามารถอธิบายที่ดินสองแปลงที่แตกต่างกัน เราตรวจสอบว่าทั้งสองสามเหลี่ยมมีอยู่จริงหรือไม่อย่างไร?
- ด้านสองด้านและมุมที่ไม่ได้ถูกล้อมรอบสามารถอธิบายที่ดินสองแปลงที่แตกต่างกัน เราตรวจสอบว่าทั้งสองสามเหลี่ยมมีอยู่จริงหรือไม่อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา กรณีไม่ชัดเจน: ข้อมูลสามเหลี่ยมที่ให้ผลผลิตสามเหลี่ยมที่ถูกต้องแตกต่างกันสองแบบ
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- ให้ A ตรงข้าม a, โดย b เป็นด้าน Known อีกด้านหนึ่ง กฎไซน์ให้ sinB=b sinA/a. ถ้าอัตราส่วนนี้เกิน 1 จะไม่มีสามเหลี่ยม มิฉะนั้นทดสอบทั้ง B=arcsin(b sinA/a) และมุม suplementary 180°−B. เก็บไว้เพียง C=180°−A−B ที่บวก; เมื่อ B=90° branch ทั้งสองจะรวมกัน ทุกด้านต้องเป็นบวก
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Given A=30°, a=7, b=10, why do TWO valid triangles exist?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse sine supplies an acute candidate, and its supplement is a second candidate. Both survive only because h<a<b with h=b sinA=5; with a=5 exactly one right triangle fits, and with a=4 none does.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
เลือก A=30°, a=7 และ b=10. จากนั้น sinB=5/7, ดังนั้น B≈45.5847° หรือ 134.4153°. ทั้งสองให้ C บวก, ประมาณ 104.4153° หรือ 15.5847°. ด้านที่สามที่เกี่ยวข้องคือ c=5√3+2√6≈13.5592 และ c=5√3−2√6≈3.7613. เพื่อหาสิ่งเหล่านี้ วาง A ที่จุดกำเนิด และ C=(10cos30°,10sin30°)=(5√3,5); B=(c,0). เงื่อนไข BC=7 ให้ (c−5√3)²+25=49. จุดตัดทั้งสองอยู่บนแนวฐานบวก พื้นที่ theirs are bc sinA/2=25√3/2±5√6, ดังนั้นข้อมูลเดียวกันจึงไม่ได้กำหนดพื้นที่เดียว
The ambiguous sine-rule case and valid triangle counts
Let A be opposite a, with b another known side
Justify each triangle candidate or transformed key point against its defining conditions.
How many triangles fit A=30°, a=7 and b=10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
h=10sin30°=5; 5<7<10 gives two positive baseline intersections.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ค่า arcsin อื่นเป็นเพียงตัวเลือก: มันอาจทำให้มุมที่เหลือเป็นศูนย์หรือติดลบ สำหรับมุมแหลม A และ h=b sinA กรณีต่างๆ คือ a<h: ไม่มี; a=h: สามเหลี่ยมฉากหนึ่งรูป; h<a<b: สองรูป; a≥b: หนึ่งรูป ที่ a=b จุดตัดฐานเพิ่มเติมคือ c=0 ซึ่งเป็นรูปร่างที่เสื่อมสภาพ สำหรับมุมฉากหรือมุมทอน A, a ต้องมากกว่า b เพื่อให้ได้สามเหลี่ยมหนึ่งรูป; ถ้าไม่อย่างนั้นจะไม่มีการสร้างสามเหลี่ยม
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ค่า arcsin สองค่าจะให้สามเหลี่ยมที่ยอมรับได้สองรูปเสมอ ข้อความนี้ผิด อธิบายว่าข้อจำกัดหรือสมมติฐานใดถูกละเมิด
How many fit A=30°, a=5 and b=10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a=h=5 gives one right triangle; the inverse-sine branches coincide.
Two inverse-sine values always give two valid triangles.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A second inverse-sine value is only a candidate: it may make the remaining angle zero or negative. For acute A and h=b sinA, the cases are a<h: none; a=h: one right triangle; h<a<b: two; a≥b: one. At a=b the extra baseline intersection is c=0, a degenerate shape. For right or obtuse A, a must exceed b for one triangle; otherwise none.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ในตัวอย่าง h=5: เปลี่ยน a เป็น 5 จะได้สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูป, เป็น 4 ไม่ได้เลย, และเป็น 10 ได้หนึ่งรูปโดย A=B=30°. ตรวจสอบผลรวมมุม, ลำดับด้าน และการสร้างใหม่ด้วยกฎโคไซน์สำหรับทุกตัวชี้แนะ. ระบุทั้งสองรูปแบบเมื่อข้อมูลที่โจทย์กำหนดไม่เลือกเพียงรูปเดียว, และรักษาความยาว/พื้นที่ที่แน่นอนไว้เท่าที่ทำได้.
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
How many fit A=30°, a=4 and b=10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a=4<h=5 makes sinB=5/4>1, so no triangle exists.
Match each ambiguous-case condition (acute A, h=b sinA) to its triangle count.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A supplementary candidate is only a candidate: it must leave a positive third angle and positive sides before it counts.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · E. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
กำหนดข้อมูลสามเหลี่ยมที่สามารถสร้างสามเหลี่ยมที่ยอมรับได้ที่แตกต่างกันสองรูป เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์