Multiple-angle equations and transformed intervals
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| transformed interval/trænsˈfɔːmd ˈɪntəvl/ | ช่วงที่แปลงแล้ว |
การคูณมุมด้วยสองจะเพิ่มจำนวนรอบที่ค้นหาเป็นสองเท่า เราจะหลีกเลี่ยงการสูญเสียคำตอบครึ่งหนึ่งได้อย่างไร?
- การคูณมุมด้วยสองจะเพิ่มจำนวนรอบที่ค้นหาเป็นสองเท่า เราจะหลีกเลี่ยงการสูญเสียคำตอบครึ่งหนึ่งได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา ช่วงที่ถูกแปลง: ช่วงสำหรับมุมที่แทนค่าหลังจากใช้การเปลี่ยนแปลงอินพุตเดียวกันกับจุดปลายของช่วงนั้น
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับอาร์กิวเมนต์ u=kx+c ให้แปลงทั้งช่วงของ x เป็นช่วงที่เหมาะสมสำหรับ u หาก k เป็นลบ ให้กลับลำดับจุดปลายและรักษาว่าแต่ละจุดปลายถูก รวมอยู่หรือไม่ แก้ใน u โดยใช้ทุกรอบที่ซ้ำกัน แล้วคืนค่า x=(u−c)/k และตรวจสอบช่วงเดิม Sine/cosine ซ้ำหลัง 2π; tangent ซ้ำหลัง π
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why does solving sin 2x=1/2 on [0,2π) need the interval [0,4π) for u=2x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Transforming the whole interval gives 0≤u<4π, where sine hits 1/2 four times: π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6. Halving recovers four x values; a single u-cycle finds only two.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
แก้ sin2x=1/2 บน 0≤x<2π จากนั้น 0≤u=2x<4π ซึ่งให้ u=π/6,5π/6,13π/6,17π/6 หารด้วย 2: x=π/12,5π/12,13π/12,17π/12 สำหรับ cos(2x−π/3)=1/2 บน [0,2π) ช่วงใหม่คือ [−π/3,11π/3) ค่า u ที่อนุญาตคือ −π/3,π/3,5π/3,7π/3 ดังนั้น x=0,π/3,π,4π/3 สำหรับ tan3x=1 บน [0,π) u มีช่วง [0,3π) ดังนั้น x=π/12,5π/12,3π/4 สำหรับ sin(−2x)=0 บน [0,π) ช่วงที่ถูกแปลงคือ (−2π,0]; รากของ u=−π,0 ให้ x=π/2,0
Multiple-angle equations and transformed intervals
For an argument u=kx+c, transform the whole interval for x into the corresponding interval for u
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does sin2x=1/2 have on [0,2π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2x covers two full turns, producing four sine roots.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การแก้เพียงรอบเดียวของ u จะพลาดราก การที่จุดปลายบนของ x ถูกตัดออกไม่จำเป็นต้องเป็นจุดปลายบนของ u เมื่อ k<0 การหารด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติอาจทำให้รากศูนย์หายไป; การยกกำลังสองอาจสร้างรากเพิ่มเติม แทนค่าลงในสมการเดิม ซึ่งมีตัวส่วนของ reciprocal/tangent อาจยังคงตัดตัวเลือกไว้ได้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การแก้ sin2x บนหนึ่งรอบเต็มของ 2x จะพบคำตอบ x ทุกค่าบน [0,2π) คำกล่าวนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่านิยามหรือข้อสมมติฐานใดที่ละเมิด
How many solutions does tan3x=1 have on [0,π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x covers three tangent periods, giving three roots.
Solving sin2x on one full turn of 2x always finds every x solution on [0,2π).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Solving only one cycle of u misses roots. An excluded upper endpoint for x need not be the upper endpoint for u when k<0. Dividing by a trig factor can remove zero roots; squaring can introduce extra roots. Substitute into the original equation, whose reciprocal/tangent denominators may still exclude a candidate.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ใช้ครอบครัวทั่วไป เช่น u=α+2jπ หรือ π−α+2jπ สำหรับ sine, u=±arccos a+2jπ สำหรับ cosine, และ u=arctan a+jπ สำหรับ tangent โดย j เป็นจำนวนเต็ม เก็บเฉพาะค่าที่อยู่ในช่วงที่ถูกแปลง เมื่อถึงจุดสูงสุด/ต่ำสุดของ sine/cosine ให้ลบค่าซ้ำออกจากครอบครัว คืนคำตอบตามหน่วยมุมที่ต้องการและตัวแปรเดิม
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
How many solutions does sin(−2x)=0 have on [0,π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The transformed interval is (−2π,0], giving u=−π,0 and hence two x values.
Match each multiple-angle step to its rule.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tangent repeats after π, sine and cosine after 2π; the number of cycles scales with |k|.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · E. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ช่วงสำหรับมุมที่แทนค่าหลังจากใช้การเปลี่ยนแปลงอินพุตเดียวกันกับจุดปลายของช่วงนั้น เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบข้อสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์