สาขาของฟังก์ตรigonometricผกผันและค่าหลัก
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | ค่าหลัก |
อัตราส่วนความสูงให้มุมล้อที่เป็นไปได้หลายค่า เครื่องคิดเลขเลือกเพียงค่าเดียวได้อย่างไร?
- อัตราส่วนความสูงให้มุมล้อที่เป็นไปได้หลายค่า เครื่องคิดเลขเลือกเพียงค่าเดียวได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา ค่าหลัก: ค่าอินเวอร์สเดียวที่เลือกจากช่วงจำกัดที่กำหนดไว้
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- จำกัด sine ไว้ที่ [−π/2,π/2] เพื่อกำหนด arcsin ที่มีโดเมน [−1,1] และเรนจ์ [−π/2,π/2]. จำกัด cosine ไว้ที่ [0,π] สำหรับ arccos, โดยมีโดเมน [−1,1] และเรนจ์ [0,π]. จำกัด tangent ไว้ที่ (−π/2,π/2) สำหรับ arctan, โดยมีอินพุตจริงทุกค่าและเรนจ์ (−π/2,π/2). กราฟอินเวอร์สนี้สะท้อนกราฟพื้นฐานที่ถูกจำกัดใน y=x.
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไม arcsin(sin(5π/6)) ถึงเท่ากับ π/6 ไม่ใช่ 5π/6?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันไซน์ถูกจำกัดให้อยู่ในช่วง [-π/2,π/2] เพื่อให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง; ฟังก์ชันผกผันจึงสามารถคืนค่าได้เฉพาะในช่วงนั้นเท่านั้น ค่ามุมเดิมจะถูกคืนกลับมาก็ต่อเมื่อค่านั้นอยู่ในช่วงที่ถูกจำกัดอยู่แล้ว
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
arcsin(1/2)=π/6, arccos(−1/2)=2π/3 และ arctan(−1)=−π/4 แม้ sin(5π/6)=1/2 แต่ arcsin(sin(5π/6))=π/6 ไม่ใช่ 5π/6 เช่นเดียวกัน arccos(cos(4π/3))=2π/3 และ arctan(tan(3π/4))=−π/4 สำหรับ sin x=1/2 บนช่วง [0,2π) ค่าหลัก α=π/6 จะให้คำตอบทั้ง α และ π−α=5π/6 สำหรับ cos x=−1/2 คำตอบคือ 2π/3 และ 4π/3; ฟังก์ชันแทนเจนต์จะซ้ำค่าหลักหลังจาก π
สาขาของฟังก์ตรigonometricผกผันและค่าหลัก
จำกัด sine ไว้ใน [−π/2,π/2] เพื่อนิยาม arcsin ที่มีโดเมน [−1,1] และเร้นจ [−π/2,π/2]
อธิบายว่าส่วนประกอบหรือข้อจำกัดสาขาใดทำให้แต่ละขั้นตอนถูกต้อง
เขียน arcsin(1/2)=kπ. หาค่า k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
มุมไซน์หลักคือ π/6 ดังนั้น k=1/6
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- sin(arcsin u)=u เป็นจริงเฉพาะเมื่อ −1≤u≤1; arcsin(sin x)=x เป็นจริงเฉพาะบนช่วงที่จำกัดของ sin เท่านั้น Arccos เป็นฟังก์ชันลดลง ดังนั้น arccos(−1)=π และ arccos(1)=0 Arctan เข้าใกล้ ±π/2 เมื่ออินพุตมีขนาดเพิ่มขึ้นแต่ไม่เคยถึงขีดจำกัดนั้น ค่าหลักเพียงอย่างเดียวไม่ใช่เซตคำตอบของช่วงเต็ม
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การนำ inverse sine ไปใช้หลังจาก sine จะคืนค่ามุมเดิมสำหรับทุกมุมจริง claim นี้เป็นเท็จ อธิบายว่าสิ่งใดในนิยามหรือสมมติฐานที่ขัดแย้ง
เขียน arccos(−1/2)=kπ. หาค่า k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
คอสีนัสมีค่า −1/2 ที่ 2π/3 บนช่วง [0,π] ดังนั้น k=2/3
การประยุกต์ใช้ Screening inverse sine หลัง sin จะคืนค่ามุมเดิมสำหรับทุกมุมจริง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(arcsin u)=u เป็นจริงเฉพาะเมื่อ −1≤u≤1; arcsin(sin x)=x เป็นจริงเฉพาะบนสาขาของ sine ที่ถูกจำกัด Arccos เป็นฟังก์ชันลด ดังนั้น arccos(−1)=π และ arccos(1)=0 Arctan เข้าใกล้ ±π/2 เมื่อค่าสัมบูรณ์ของอินพุตเพิ่มขึ้นแต่ไม่ pernahถึงขีดจำกัดเหล่านั้น ค่าหลักเพียงอย่างเดียวไม่ใช่เซตคำตอบในช่วงเต็ม
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ทำเครื่องหมายจุดขอบเขตของโดเมนและช่วงผลลัพธ์ก่อนประกอบฟังก์ชัน บนกราฟ inverse arcsin RUNNING จาก (−1,−π/2) ถึง (1,π/2), arccos จาก (−1,π) ถึง (1,0), และ arctan ผ่าน (0,0) ระหว่างเส้นประแนวนอน รักษาคำตอบให้อยู่ในหน่วยเรเดียนเว้นแต่จะขอเป็นองศา และตรวจสอบทุกสมการที่เป็นไปได้ในช่วงเดิม
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
เขียน arctan(−1)=kπ. หาค่า k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แทนเจนต์มีค่า −1 ที่ −π/4 บนช่วง (−π/2,π/2) ดังนั้น k=−1/4
จับคู่ฟังก์ชันผกผันแต่ละตัวกับช่วงค่าที่จำกัดของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละส่วนถูกเลือกเพื่อให้ฟังก์ชันต้นทางเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ค่าหลักจะสร้างเซตคำตอบทั้งหมดผ่านสมมาตรและคาบ
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · E. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
output หลักที่เลือกมาจากช่วงที่จำกัดที่กำหนด เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐานและตีความผลลัพธ์