Reciprocal identities and one-sided proof chains
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | เอกลักษณ์ |
สูตรสองสูตรตรงกันที่มุมหนึ่ง การที่ตรงกันที่มุมเดียวพิสูจน์ได้ว่าตรงกันทุกมุมที่นิยามได้หรือไม่?
- สูตรสองสูตรตรงกันที่มุมหนึ่ง การที่ตรงกันที่มุมเดียวพิสูจน์ได้ว่าตรงกันทุกมุมที่นิยามได้หรือไม่?
- บทเรียนนี้ศึกษา เอกลักษณ์: สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกอินพุตในโดเมนร่วมที่ระบุ
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สมการวงกลมหน่วยให้ sin²θ+cos²θ=1 หารด้วย cos²θ เมื่อ cosθ≠0 จะได้ tan²θ+1=sec²θ หารด้วย sin²θ เมื่อ sinθ≠0 จะได้ 1+cot²θ=cosec²θ บันทึกข้อห้ามก่อนตัดทอนหรือหาร การพิสูจน์เริ่มจากด้านหนึ่งไปถึงอีกด้านหนึ่งผ่านสมการที่ถูกต้อง; การตรวจสอบด้วยตัวเลขเพียงอย่างเดียวไม่ถือเป็นการพิสูจน์
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why is checking tan²θ-sin²θ=tan²θsin²θ at θ=π/4 not a proof?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An identity claims equality at EVERY allowed input. The proof chains valid equalities from one side to the other: sin²θ(1/cos²θ-1)=sin⁴θ/cos²θ=tan²θsin²θ, with exclusions recorded.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
พิสูจน์ tan²θ−sin²θ=tan²θ sin²θ สำหรับ cosθ≠0. ด้านซ้ายคือ sin²θ(1/cos²θ−1)=sin²θ(1−cos²θ)/cos²θ=sin⁴θ/cos²θ=tan²θ sin²θ. ไม่ต้องหารด้วย sinθ ดังนั้น sinθ=0 จึงยังคงอนุญาตได้. สำหรับ sinθ≠0, (1−cosθ)/sinθ จะกลายเป็น (1−cosθ)(1+cosθ)/[sinθ(1+cosθ)]=sin²θ/[sinθ(1+cosθ)]=sinθ/(1+cosθ). การหักออกที่ระบุไว้ทำให้ 1+cosθ มีค่าไม่เป็นศูนย์. ถ้า secθ=2 โดย θ เป็นมุมแหลม, tan²θ=4−1=3, cosθ=1/2, sin²θ=3/4, cosec²θ=4/3 และ cot²θ=1/3.
Reciprocal identities and one-sided proof chains
The unit-circle equation gives sin²θ+cos²θ=1
Explain which denominator or branch restriction makes each step valid.
If secθ=2 and θ is acute, find tan²θ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan²θ=sec²θ−1=4−1=3.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การพิสูจน์เอกลักษณ์ไม่หมายถึงการสมมติว่าทั้งสองข้างเท่ากันแล้วดัดแปลงสมมตินั้นโดยไม่มีการอธิบาย justification สมการกำลังสองไม่ได้กำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชัน: จตุภาคที่ทำอย่างนั้น-expressionสุดท้าย sinθ/(1+cosθ) นิยามได้ที่ θ=0 แต่ของเดิม (1−cosθ)/sinθ ไม่ได้; การลดรูปไม่สามารถซ่อมแซมโดเมนของของเดิมได้
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
การตรวจสอบ identity ที่เสนอไว้ที่มุมเดียวพิสูจน์它为所有允许的角度。声明是错误的。解释它违反了哪个定义或假设。
Find cosec²θ for that angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin²θ=1−cos²θ=3/4; its reciprocal is 4/3.
Checking a proposed identity at one angle proves it for all allowed angles.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Proving an identity does not mean assuming both sides equal and manipulating that assumption without justification. A squared identity does not fix a function’s sign: the quadrant does. The last expression sinθ/(1+cosθ) is defined at θ=0, but the original (1−cosθ)/sinθ is not; simplification does not repair the original domain.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- เลือกด้านที่ซับซ้อนกว่า เปลี่ยนฟังก์ชันผกผันเป็น sin/cos ใช้ส่วนร่วมนำและใช้ sin²+cos²=1 annotate ตัวประกอบที่ถูกตัดทอนทุกครั้ง เพื่อ反驳声称的恒等式一个有效的反例就足够了;为了证明它，解释为什么链条对公共域中的所有角度都有效。
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find cot²θ for that angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cot²θ=cosec²θ−1=4/3−1=1/3.
Match each derived identity to its source.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Simplification never repairs the original domain: a step valid only where sinθ≠0 leaves θ=0 excluded from the original statement.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · E. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
สมการที่เป็นจริงสำหรับทุกอินพุตในโดเมนร่วมที่ระบุ เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐานและตีความผลลัพธ์