Compound-angle formulae and geometric proofs
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | มุมประกอบ |
จุดสองจุดที่มีรัศมีหนึ่งกำหนด chord ความยาวของมันสามารถอธิบายได้ว่าทำไม cos ของผลต่างจึงไม่ใช่ผลต่างของ cos สองตัว?
- จุดสองจุดที่มีรัศมีหนึ่งกำหนด chord ความยาวของมันสามารถอธิบายได้ว่าทำไม cos ของผลต่างจึงไม่ใช่ผลต่างของ cos สองตัว?
- บทเรียนนี้ศึกษา มุมประกอบ: มุมที่แสดงเป็นผลบวกหรือผลต่างของมุมสองมุม
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- sin(A±B) = sinA cosB ± cosA sinB; cos(A±B) = cosA cosB ∓ sinA sinB:เครื่องหมายของโคไซน์จะเปลี่ยนไป tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) โดยที่ค่าแทนเจนต์และส่วนตัวมีอยู่จริง สันนิษฐานสูตรแทนเจนต์โดยการหารสูตรไซนและโคサインที่เกี่ยวข้องกันให้؛ อย่ากระจายผลหารผ่านส่วนที่เป็นศูนย์
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why is cos(A+B)=cosA cosB - sinA sinB while sin(A+B) carries a plus?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Check with A=B=45°: cos 90°=0 and cosAcosB-sinAsinB=1/2-1/2=0, while a plus would give 1. The cosine sign reversal is exactly what the compound geometry produces.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
ให้ P=(cosA,sinA) และ Q=(cosB,sinB) บนวงกลมหน่วย ระยะทางพิกัดให้ PQ²=2−2(cosA cosB+sinA sinB). กฎโคไซน์บนรัศมีหน่วยสองข้างให้ PQ²=2−2cos(A−B), ดังนั้นสูตรผลต่างของโคไซน์ แทนที่ B ด้วย −B โดยใช้คุณสมบัติโคไซน์คู่/ไซน์คี่ เพื่อหาสูตรผลบวกของโคไซน์ ใช้ผลต่างของโคไซน์กับ (π/2−A) และ B เพื่อหา sin(A+B); จากนั้นเปลี่ยนเครื่องหมายของ B สำหรับ sine subtraction. การคำนวณค่าที่แน่นอน: sin75°=sin(45°+30°)=(√6+√2)/4; cos75°=(√6−√2)/4; sin15°=(√6−√2)/4, cos15°=(√6+√2)/4 และ tan15°=2−√3.
Compound-angle formulae and geometric proofs
sin(A±B)=sinA cosB±cosA sinB
Explain how the angle formula follows from the geometric or coefficient conditions.
Find sin(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use sin(π/4−π/6)=(√6−√2)/4≈0.258819.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- sin(A+B) ไม่ใช่ sinA+sinB กฎโคไซน์สำหรับสาย хорда จะใช้มุมที่included มุมที่เล็กกว่าเมื่อจำเป็น แต่ค่าโคซINE ของมันยังคงเป็น cos(A−B) ระยะทางพิกัดและเอกลักษณ์ที่ได้จากนั้นเป็นจริงสำหรับทุกมุมที่มีเครื่องหมาย; แผนภาพเริ่มต้นเป็นเพียงตัวอย่างหนึ่ง tan(45°+45°) ไม่มีค่าเพราะ 1−tan45°tan45°=0.
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
โคซINE ของผลบวกเท่ากับผลรวมของค่าโคซINE ทั้งสองเสมอ ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
Find cos(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use cos(π/4−π/6)=(√6+√2)/4≈0.965926.
Cosine of a sum always equals the sum of the two cosine values.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(A+B) is not sinA+sinB. The cosine rule chord uses the smaller included angle when necessary, but its cosine is still cos(A−B). Coordinate distance and the resulting identities hold for all signed angles; the initial diagram is one illustrative case. tan(45°+45°) is undefined because 1−tan45°tan45°=0.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- เลือกมุมที่คุ้นเคยwhose ผลบวกหรือผลต่างเป็นเป้าหมาย รักษารากที่แน่นอนและจัดรูปเศษส่วนของแทนเจนต์หากจำเป็น ในการพิสูจน์แบบเรขาคณิต ระบุแสดงทั้งสองรูปแบบของสาย хорดาเดียวกัน แทนที่จะสันนิษฐานเอกลักษณ์ที่ต้องการ ตรวจสอบส่วนตัวก่อนใช้สูตรผลบวก/ผลลบของแทนเจนต์
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find tan(π/12) as a decimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Use tan(π/4−π/6)=2−√3≈0.267949.
Match each exact value to its compound-angle computation.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The special-triangle values feed the compound formulas to produce exact values at 15° and 75° without a calculator.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · E. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
มุมที่แสดงในรูปผลบวกหรือผลต่างของสองมุม เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์